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antouola

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Couple_de_variables_aléatoires_réelles

Bonjour,
Je cherche à répondre à ces deux questions et j'ai du mal avec:
Soit (X,Y) un couple de v. a. de densité: f(x,y)=k si |x| + |y|<1 et 0 sinon.
a) Déterminer k pour que f soit une densité de probabilité.
b)Déterminer les lois marginales de X et de Y.
Merci par avance

freddy

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Re : Couple_de_variables_aléatoires_réelles

Salut,

comment interprètes-tu la première question ? Connais tu la condition de normalisation à l'unité en la matière ?
Que sais-tu de la valeur de $\int_D f(x,y)\;dxdy$ ? avec $D =\{(x,y) \in R^2,\; |x|+|y| <1\} $

antouola

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Re : Couple_de_variables_aléatoires_réelles

Je sais que la double intégrale sur D doit être égale à 1. J'avais un autre exercice pareil mais avec x^2 + y^2 <1 et j'ai utilisé l'équation d'un cercle pour le résoudre mais là je ne vois pas trop comment je choisirai les bornes ou à quel ensemble correspond D.

freddy

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Re : Couple_de_variables_aléatoires_réelles

Re,

si tu regardes bien, c'est un pavé carré de sommet (+/-1, +/-1) centré à l'origine.
Pose $y=0$, alors $-1<x<+1$ ; intervertis $x$ et $y$ !
Ensuite, pour $x$ et $y >0$, alors tu as la frontière $y=1-x$ ; continue et envisage les autres cas ...

freddy

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Re : Couple_de_variables_aléatoires_réelles

Salut,

pour des raisons de symétrie, on peut se limiter au calcul d'un seul quadrant puis faire "fois 4" pour le résultat final.
Les bornes d'intégrations sont $x$ de 0 à 1 et $y=1-x$.

▼Sauf erreur ...

Sauf erreur, on devrait trouver $k=\dfrac{1}{2}$
car $\int_0^1\int_0^{1-x}k\;dydx=\dfrac{k}{2}$

antouola

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Re : Couple_de_variables_aléatoires_réelles

Merci énormément Freddy, je vois mieux maintenant