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Tmota

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Les sous-groupes de C

Bonjour,

dans un exercice, je dois déterminer les sous-groupes finis de $(\mathbb{C}^*,\times)$.

J'ai écrit ceci :

Soit $H$ un sous-groupe fini de $(\mathbb{C}^*,\times)$.
Je note $card(H)=n$.

Alors on sait que $(H,\times)$ est un groupe fini à $n$ éléments.

Ainsi pour tout $z$ élément de $H$, on sait que $z^n=1$.

D'où $z$ est une racine de l'unité donc élément de $\mathbb{U}_n$.

Par conséquent $H\subset\mathbb{U}_n$ et finalement l'égalité puisque ces deux ensembles ont mêmes cardinaux.

Par conséquent, les sous-groupes finis de $(\mathbb{C}^*,\times)$ sont les groupes $\mathbb{U}_n$ des racines de l'unité.

Qu'en pensez-vous ?

Je me pose également la question suivante.
Le fait que si $(G,.)$ est un groupe fini à $n$ éléments, alors pour tout $g$ élément de $G$, $g^n=e$ peut s'utiliser sans justification, directement ?

D'avance merci.

Fred

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Re : Les sous-groupes de C

Hello,

  Cela me semble ok.

F.

Stakhanov

Invité

Re : Les sous-groupes de C

Bonsoir,
Ce que tu dis est correct. Tu utilises le théorème de Lagrange qui dit l'ordre d'un sous groupe divise le cardinal du groupe G quand il est fini.

Tmota

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Re : Les sous-groupes de C

Merci.
Oui, c'est justement la question.
La proposition suivante :

Si $(G,.)$ est un groupe à $n$ éléments alors pour tout élément $g$ de $G$, on a $g^n=e$.

Elle se montre en partie avec le th. de Lagrange. Je fais comme ceci :

Preuve :
L'application $\begin{array}{ll}
f : &\mathbb{N} \longrightarrow G \\
   &n \longrightarrow a^n
\end{array}$ n'est pas injective. Donc il existe deux entiers $p<q$ de sorte $f(p)=f(q)$, c-à-d $a^p=a^q$ ou encore $a^{q-p}=e$

Je nomme $m=p-q\in\mathbb{N}$ et donc $a^m=e$.

Par définition, $<a>:=\{a^k\,,k\in\mathbb{Z}\}$.

Je fais la D.E. de $k$ par $m$ pour obtenir $k=ms+r$ avec $0\le r<m$ et donc $a^k=a^r$.

Ainsi $<a>=\{a^r\,,r\in[[0,m-1]]\}$ qui est un sous-groupe de $(G,.)$.

Puis avec le th. de Lagrange, on a $card(<a>)|card(G)$. Soit $m|n$.

Par conséquent, $a^n=a^{mt}=e$.

Est-ce bien cela ?

Ou existe-t-il un autre moyen d'arriver à ce résultat ? Plus rapide sans être plus complexe ^^

Merci encore pour l'aide.

Fred

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Re : Les sous-groupes de C

Oui, c'est cela.

F.

Tmota

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Re : Les sous-groupes de C

Merci beaucoup.