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Healhart

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Eléments finis

Bonjour,

Quelqu'un saurait comment obtenir la formulation variationnelle de cette équation: $div( \rho \nabla \phi ) = 0$ ?
$\rho$ étant aussi une fonction.
En considérant une première frontière "extérieur" (cercle) où $\frac{\delta \phi}{\delta n} = a \cdot n$ ($a$ une constante réelle) et une deuxième frontière "intérieur" incluse dans ce cercle où $\frac{\delta \phi}{\delta n} = 0$.

Merci pour votre aide

Dernière modification par Healhart (08-02-2020 20:48:20)

Roro

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Re : Eléments finis

Bonsoir,

Comment fais-tu d'habitude pour écrire une formulation variationnelle ?

Il n'y a pas de difficulté particulière dans le cas que tu évoques, qu'est ce qui te gène ?

Roro.

Healhart

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Re : Eléments finis

Bonsoir,
d'habitude je manipule seulement deux fonctions pour établir ma formulation variationnelle (la solution cherchée ainsi que la fonction test), or, ici nous avons une fonction "ro" qui s'ajoute et cela me perturbe pour la formulation variationnelle car la formule de Green n'est plus vraiment "pareil".
edit:
J'ai $div( \rho \nabla \phi ) = \rho \nabla \phi + \nabla \rho \cdot \nabla \phi$ et c'est ici que je n'arrive pas à appliquer Green.

Dernière modification par Healhart (08-02-2020 21:54:18)

Roro

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Re : Eléments finis

Re,

La formule de Green (ou avec d'autres noms) s'écrit de façon simple :
$$\int_{\Omega} \mathrm{div} (f) = \int_{\partial \Omega} f\cdot n$$
où $n$ est la normale sortante à un ouvert $\Omega$.

Avec ça, tu peux faire comme d'habitude en multipliant ton équation par une fonction test $\psi$, et en utilisant cette formule (enfin cette formule appliquée avec $f=\rho \psi \nabla \phi$).

Roro.

P.S. Je viens de voir ton post à l'instant : il ne faut surtout pas développer la divergence dans ton équation mais le faire avec $\rho \psi \nabla \phi$ :

$$\mathrm{div} (\rho \psi \nabla \phi) = \rho \nabla \psi \cdot \nabla \phi + \psi \, \mathrm{div} (\rho \nabla \phi).$$

Dernière modification par Roro (08-02-2020 22:11:12)

Healhart

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Re : Eléments finis

Ce que je ne comprend pas trop c’est que je dois avoir $f \psi$ avec $f=div(\rho \nabla \phi)$ donc on aurait plutôt $div(\rho \nabla \phi) \psi$ non?

Dernière modification par Healhart (08-02-2020 22:29:30)

Healhart

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Re : Eléments finis

Et du coup c’est en multipliant par ma fonction test que je n’arrive pas à trouver la formule correcte (la fonction test étant $\psi$ )

Dernière modification par Healhart (08-02-2020 22:37:18)

Roro

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Re : Eléments finis

Regarde la dernière formule que j'ai donné dans mon dernier post... tu retrouves bien $\mathrm{div}(\rho \nabla \phi) \psi$...

Roro.

Roro

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Re : Eléments finis

Bon, si je veux te donner un argument plus "direct" : tu multiplies ton équation par $\psi$ :
$$0 = \mathrm{div} (\rho \nabla \phi) \psi$$
Tu utilises la décomposition suivante :
$$0 = \mathrm{div} (\rho \nabla \phi) \psi = \mathrm{div}(\rho \psi \nabla \phi) - \rho \nabla \phi \cdot \nabla \psi.$$

Tu intègres sur $\Omega$ et tu utilises la formule de Green pour la partie divergentielle :
$$0 = \int_{\partial \Omega}\rho \psi \nabla \phi \cdot n - \int_{\Omega}\rho \nabla \phi \cdot \nabla \psi.$$

Tu utilises tes conditions aux bords et tu en déduis la formulation variationnelle...

Roro.

Dernière modification par Roro (08-02-2020 22:48:35)

Healhart

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Re : Eléments finis

En effet j'ai pas fait attention,
Donc la formulation variationnelle de mon problème est :
$ \int_\Omega \psi div(\rho \nabla \phi)  = \int_\Omega div(\rho \psi \nabla \phi) - \int_\Omega \psi \nabla \psi \nabla \phi $
$0= \int_{d\Omega} \rho \psi \nabla \phi \cdot n - \int_\Omega \rho \nabla \psi \cdot \nabla \phi $

edit: Je postais ma réponse en même temps que la votre, on trouve la même formule,

En utilisant mes conditions au bord il me reste $0= \int_{d\Omega} \rho \psi a \cdot n - \int_\Omega \rho \nabla \psi \cdot \nabla \phi $

Dernière modification par Healhart (08-02-2020 23:00:15)