Nature et somme serie

moise0738 · 07-02-2020 23:29:53

Ok alors bonne nuit
Et à Demain
Et merci pour cet aide

Zebulor · 08-02-2020 04:49:27

Rebonjour,

moise0738 a écrit :

Re,
Bon pour la convergence je me suis perdu. je le majore par |cosnx| mais j'arrive pas à montrer que c absolument convergente..

Alors on peut explorer une autre piste : celle du théorème d'Abel pour les séries en exploitant ton hypothèse de départ :
x un reel et|2cosx|>1

Dernière modification par Zebulor (08-02-2020 06:24:10)

Maenwe · 08-02-2020 09:24:20

Bonjour,

Il y a une façon bien plus simple de montrer que $\sum \frac{cos(kx)}{2^kcos^k(x)}$ converge, il suffit de montrer que $\sum (\frac{e^{ix}}{2cox(x)})^k$ converge.

Maintenant la question est : à quelle condition nécessaire et suffisante une série géométrique converge ? (c'est du niveau L1 si je ne me trompe pas donc normalement tu devrais connaître)

moise0738 · 08-02-2020 11:02:13

Bonjour,
Oui je sais il faut que |q|<1
Mais moi je veux utiliser la confition qu'on ma donné c ad x un reel tel que |2cosx|>1

Dernière modification par moise0738 (08-02-2020 11:06:18)

moise0738 · 08-02-2020 11:14:42

Re,
Bon pour Abel quel sont les 2 suites que l'on prend

Maenwe · 08-02-2020 13:13:00

Re,
Ne t'en fais pas on va l'utiliser cette condition, et d'ailleurs tu n'aurais pas dis ça si tu avais fais les calculs :
ici $q$ c'est $\frac{e^{ix}}{2cos(x)}$, donc sachant que $ \mid 2cos(x) \mid > 1$ que peut on dire de $\mid q \mid$ ?

Et je me permets de répondre à la place de Zebulor, pour trouver les deux suites il faut que tu cherches une suite qui tends vers 0 et l'autre qui soit à sommation bornée... Donc ?

moise0738 · 08-02-2020 13:22:04

Re,
Donc il faut majoré la valeur absolue de la somme de la suite con(nx) par un reel positif
Maintenant il faut trouver ce réel ??

moise0738 · 08-02-2020 13:33:41

On peut dire que |q|<exp(ix)

Maenwe · 08-02-2020 14:09:48

Oui il faut majorer cette somme, mais pour le faire il faut calculer cette somme... Chose qui est possible de faire en passant, exactement comment avant, par les complexes.

Concernant le dernier post, étant à peu près sûr que tu parles bien de la relation d'ordre sur $\mathbb{R}$, ce que tu as écris n'a absolument aucun sens ! Avec cette relation d'ordre on ne peut pas comparer des éléments de $\mathbb{C}$ car elle est définit sur $\mathbb{R}$, à moins que tu n’as étendu cette relation d'ordre de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{C}$...
Donc je réitère que vaut $\mid q \mid$ ?

Dernière modification par Maenwe (08-02-2020 14:10:33)

Zebulor · 08-02-2020 14:30:53

Bonjour,

Maenwe a écrit :

Il y a une façon bien plus simple de montrer que $\sum \frac{cos(kx)}{2^kcos^k(x)}$ converge, il suffit de montrer que $\sum (\frac{e^{ix}}{2cox(x)})^k$ converge.

En effet.. c'est bien plus rapide par ce biais. Ca permettra à notre ami moise de voir les différentes méthodes possibles. Fin de la parenthèse.

Dernière modification par Zebulor (08-02-2020 14:44:36)

moise0738 · 08-02-2020 14:44:32

Concernant |q| je ne vois pas ce qu'on peut y conclure

Zebulor · 08-02-2020 14:50:22

Et sous cette forme ? $|q|= |e^{ix}|* \frac {1}{|2*cos(x)|}$

Dernière modification par Zebulor (08-02-2020 15:22:03)

moise0738 · 08-02-2020 15:12:11

Re,
Rappel
On veut que |q|<1

Zebulor · 08-02-2020 15:16:53

d après mon post #37, a t on $|q|<1$ ?

moise0738 · 08-02-2020 15:20:05

Normalement on l'on mais moi je ne le voit pas

Zebulor · 08-02-2020 15:24:08

et sous cette forme peut être : $|q|=|e^{ix}|* \frac {1}{|2cox(x)|}$.
Sachant que $|2cos(x)|$ est plus grand que 1.. que dire de son inverse ?
Et que vaut $|e^{ix}|$ ?

Dernière modification par Zebulor (08-02-2020 15:30:07)

moise0738 · 08-02-2020 15:31:14

Mais est-ce que tout nombre plus petit que de 1
Multiplier par un nombre positif est plus petit que 1

Zebulor · 08-02-2020 15:38:28

Je détaille alors : partant de $ |2cos(x)| > 1 > 0$ . tu es dans la situation où $a>b>0$, alors $\frac {1}{a}<\frac {1}{b}$.
On dit que pour des nombres de même signe, prendre l'inverse inverse l'ordre des inégalités…
Ce qui permet de conclure à la convergence absolue de cette série à termes complexes : $\sum (\frac{e^{ix}}{2cos(x)})^k$.

Et elle concerne la série des modules $\sum (\frac{|e^{ix}|}{|2cos(x)|})^k$.

Dernière modification par Zebulor (08-02-2020 15:53:22)

moise0738 · 08-02-2020 15:53:21

Oui je comprend cela
Ce qui me dérange c'est l'exponentielle

Dernière modification par moise0738 (08-02-2020 16:28:00)

Zebulor · 08-02-2020 15:57:08

$(\frac {1}{ab})^k=\frac {1}{(a^k)(b^k)}$ si c'est ça qui te gêne...

moise0738 · 08-02-2020 16:05:48

Ce qui permet de conclure à la convergence absolue de cette série à termes complexes :?????

moise0738 · 08-02-2020 16:10:09

Zebulor a écrit :

$(\frac {1}{ab})^k=\frac {1}{(a^k)(b^k)}$ si c'est ça qui te gêne...

Non je sais ça

moise0738 · 08-02-2020 16:14:16

N'est ce pas ce qu'on voulais montrer c'est |q|<1
Donc....

Maenwe · 08-02-2020 17:05:46

Tu n'as toujours pas répondu à ma question...
Que vaut $\mid q \mid$ ? En fait plus précisément (parce que c'est vrai que ma question est un peu flou, tu pourrais répondre parfaitement légitimement : "bah $\mid q \mid$") que vaut $\mid e^{ix} \mid$ ? Ensuite tu es d'accord que l'on veut montrer que $\mid q \mid < 1$ je suppose, eh bien cherche à simplifier au maximum $\mid q \mid$ pour obtenir des facteurs qui se trouvent dans l'énoncé.
Si tu ne sais pas le calculer, dis le, je t'expliquerais le comment et le pourquoi.

moise0738 · 08-02-2020 17:10:38

Re,
Honnêtement depuis le matin c ce que je cherche à trouver
Je ne voit pas ce qu'on peut faire pour trouver |q|

Dernière modification par moise0738 (08-02-2020 17:16:28)

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