Nature et somme serie

moise0738 · 07-02-2020 18:24:52

Bonjour !
Pouvez vous m'expliquer comment on trouve la nature et la somme de la serie
\sum_{n=1} ^\propt\fract{\cosnx} {2^n\cos^n(x)}

avec x un reel et|2cosx|>1

Dernière modification par moise0738 (07-02-2020 18:36:02)

moise0738 · 07-02-2020 18:38:12

Est ce vous comprenez ce que j'ai voulu ecrire en latex
Apparemment c faux mais je ne sé pas où

Dernière modification par moise0738 (07-02-2020 18:43:23)

Maenwe · 07-02-2020 18:45:52

Bonjour,
C'est ça ? :
$\sum\limits_{k=1} ^n \frac{\cos(kx)} {2^k\cos^k(x)} $

moise0738 · 07-02-2020 20:54:18

Bonsoir
C effectivement cette somme avec n qui tend vers l'infini et x un reel tel que |2cosx|>1

Dernière modification par moise0738 (07-02-2020 21:02:46)

Maenwe · 07-02-2020 21:16:23

Bonsoir,
une idée aujourd'hui classique (qui vient de Weierstrass je crois, ou tout du moins de cette zone temporelle) est de passer par les complexes pour résoudre ça :
$\sum \limits_{k=0}^n \frac{cos(kx)}{2^kcos^k(x)} = \Re \sum\limits_{k=0}^n \frac{e^{ikx}}{2^kcos^k(x)}$

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moise0738 · 07-02-2020 21:25:13

D'abord que signifie le R
Et ensuite quel est votre objectif(methode)

moise0738 · 07-02-2020 21:28:37

Bon pour la converge c bon maintenant il resye le calcul

Zebulor · 07-02-2020 21:30:59

Re,
Maewenn que je salue a posté un message qui se télescopait avec le mien…
Dans ce qu'à écrit Maewenn, et je me permets de répondre à sa place, le R est la partie réelle de la somme en sigma qui contient $n+1$ termes.
Chaque terme de cette somme est en fait une puissance de $k$, de sorte qu'on reconnaît une suite géométrique.

Dernière modification par Zebulor (07-02-2020 21:31:42)

Roro · 07-02-2020 21:31:19

Bonsoir,

La méthode dont parle Maenwe est d'utiliser les nombres complexes. La notation $\mathfrak R$ signifie partie réelle (aussi notée $\mathfrak Re$).

L'idée est que, si on considère la série complexe, on reconnait une série géométrique dont on connait explicitement la somme. Il suffit d'en prendre la partie réelle pour conclure.

Roro.
P.S. Grillé par Zébulor.

Dernière modification par Roro (07-02-2020 21:32:29)

Zebulor · 07-02-2020 21:37:03

re,
@Roro : sans le vouloir… ce n'est pas pour rien que Yoshi m'appelle Speedy..

moise0738 · 07-02-2020 21:46:38

Re,
J'ai compris la formule mais en admettant que ça soit vrai quel serait la raison

Dernière modification par moise0738 (07-02-2020 21:52:08)

Zebulor · 07-02-2020 21:53:06

re,
$\frac{e^{ikx}}{2^kcos^k(x)}$ peut s'écrire $x^k$ où $x$ est la raison qui peut s'écrire sous forme de quotient

Dernière modification par Zebulor (07-02-2020 21:55:13)

moise0738 · 07-02-2020 21:58:15

En faites je voulais dire que j'ai pas compris la formule

Zebulor · 07-02-2020 22:01:33

Celle ci ?
$\sum \limits_{k=0}^n \frac{cos(kx)}{2^kcos^k(x)} = \Re \sum\limits_{k=0}^n \frac{e^{ikx}}{2^kcos^k(x)}$

moise0738 · 07-02-2020 22:02:55

Exactement

Zebulor · 07-02-2020 22:04:36

$e^{ikx}=cos(kx)+i*sin(kx)$

Zebulor · 07-02-2020 22:07:47

parce que$\frac{cos(kx)}{2^kcos^k(x)}$ est la partie réelle du nombre complexe : $\frac{cos(kx)}{2^kcos^k(x)} +i \frac{sin(k*x)}{2^kcos^k(x)}$

Dernière modification par Zebulor (07-02-2020 22:16:29)

moise0738 · 07-02-2020 22:11:24

Ok j'ai comprix

moise0738 · 07-02-2020 22:14:26

Donc si j'ai bien compris on trouve que la somme est egale
Re[(2cosx)/(2cosx-exp(ix)]??

Dernière modification par moise0738 (07-02-2020 22:16:51)

Zebulor · 07-02-2020 22:25:31

re,
je n'ai pas vérifié ton calcul.. es tu d'accord que la raison est : $ \frac{e^{ix}}{2*cos(x)}$

moise0738 · 07-02-2020 22:26:20

Re,
Oui suis d'accord

Dernière modification par moise0738 (07-02-2020 22:26:39)

Zebulor · 07-02-2020 22:31:12

Je crois comprendre ton calcul, tu es passé à la limite et un terme en puissance de $n+1$ tend vers 0 quand n tend vers l'infini

Dernière modification par Zebulor (07-02-2020 22:32:40)

moise0738 · 07-02-2020 22:41:17

Oui c ce que j'ai fai mais c pas exactement si c vrai ou pa

moise0738 · 07-02-2020 22:44:27

Re,
Bon pour la convergence je me suis perdu. je le majore par |cosnx| mais j'arrive pas à montrer que c absolument convergente..

Zebulor · 07-02-2020 23:01:21

Pour la convergence en tout cas ta majoration me semble bonne… J'arrête là ce soir car par expérience j'ai tendance à écrire des bêtises passé 23 heures...

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