Forum de mathématiques - Bibm@th.net

kristen

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Equa dif [Résolu]

rebonjour je me permet de recréer un poste pour un nouveau problème cette fois ci il s'agit d'équation différentielle

YY''=1+Y'^2 je bloque a y=k(1+z^2)^1/2

kristen

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Re : Equa dif [Résolu]

j'ai oublier de dire y'=z

Fred

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Re : Equa dif [Résolu]

Salut,

  Tu es bien sûr qu'il s'agit de YY''=1+Y'^2 et pas YY''=1-Y'^2.
Je dis cela car je sais intégrer la seconde, pas la première...

F.

kristen

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Re : Equa dif [Résolu]

malheuresement pour moi oui mais il s'agit d'exercice d'entrainement donc si tu peu me donner ta méthode pour la seconde ça pourra m'aider pour un autre ego peut être ^^

john

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Re : Equa dif [Résolu]

Bonjour,
On a (YY')' = YY" + Y'²
donc avec un signe - dans ton équation, ce serait facile.
Une solution particulière me vient à l'esprit (enfin, ce qu'il en reste à cette heure-ci) :
Y = Chx
A+

Dernière modification par john (09-12-2007 00:14:43)

JJ

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Re : Equa dif [Résolu]

yy''=1+y'^2
tu ne dis pas quelle est la variable ! Supposons que ce soit x, donc on cherche y(x).
y''y'/(1+y'^2) = y'/y
La dérivée de 1/(1+y'^2) est -2y''y'/(1+y'^2) .
Donc une primitive de y''y'/(1+y'^2)  est  -(1/2)ln(1+y'^2)
et une primitive de y'/y est ln(y). L(intégration donne :
-(1/2)ln(1+y'^2) = ln(y) +constante
(1+y'^2) = C /y^2
y' = ((C /y^2)-1)^(1/2) = ((C -y^2)^(1/2))/y
dy/dx = ((C -y^2)^(1/2))/y
dx =( y/((C -y^2)^(-1/2) )dy
que l'on intègre :
x = ( (C -y^2)^(1/2) ) + constante
(x-c)^2 = C -y^2
y = ( C -(x-c)^2 )^(1/2)
avec C et c  les deux constantes d'intégrations.
(Devant chaque racine carrée, il faut mettre + ou - )

john

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Re : Equa dif [Résolu]

Hello JJ,
Pour une fois... bon, mais c'est quand-même pas mal pour la méthode.
Merci de revoir la ligne 5 de #6.

A+

JJ

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Re : Equa dif [Résolu]

Ce n'est pas à la ligne 5 qu'il y avait une faute, c'est à la ligne 4 :
La dérivée de ln(1+y'^2) est 2y''y'/(1+y'^2) donc :
(1/2)ln(1+y'^2) = ln(y) +constante
Je vous laisse refaire la suite du calcul (le changement de signe fait changer beaucoup de choses...)
Merci à John d'avoir signalé l'erreur.

kristen

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Re : Equa dif [Résolu]

sérieusement merci beaucoup j'aurais penser a faire un changement de variable u= 1/(1+y'^2) avant cette exo encore merci pour le temps passée dessus sujet a clore.