Suites ds / explicatiob des proprietes de zigma

72Messo10 · 08-01-2020 18:02:45

Bonjour, j'ai un ds de math à préparé et je voudrais les exercices les plus difficiles sur les suites sachant que meme si je suis en première on a fait le raisonnement par réccurence et le zigma vous pouvez donc me donner des exos de bac si y'en a puisqu'on en a meme fait en classe , d'ailleurs je n'ai pas compris les propriétés de zigma quand on separe la somme ou qu'on factorise si quelqu'un pourrait me récapituler l'ensemble des propriétés a connaitre. Enfin on a aussi étudier la limites d'une suite avec les epsilon et on m'as dis que c'est plus au prgm de lycée donc si vous avez des exos de ce types meme si c'est au dessus du niveau bac vous pouvez me les donnés .Merci

yoshi · 08-01-2020 20:23:05

Salut,

J'ai exhumé cet exo, que tout le monde avait qualifié de difficile :

On considère la suite de nombre rééls de terme général (Un) défini par:
[tex]{ u }_{ n }=\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 2 }{ { 2 }^{ 2 } } +\frac { 3 }{ { 2}^{ 3 } } +\frac { ... }{ ... } +\frac { n }{ { 2 }^{ n } }[/tex] , [tex]n\geqslant 1[/tex]
1. Montrer que la suite (Un) pour [tex]n\geqslant 1[/tex] ,strictement croissante.
2. Montrer que pour tout entier [tex]n\geqslant 1[/tex] : [tex]2{ u }_{ n+1 }-{ u }_{ n }=\frac { { 2 }^{ n+1 }-1 }{ { 2 }^{ n } }[/tex]
3. En déduire que la suite (Un)[tex]n\geqslant 1[/tex] est majorée
4. Montrer que la suite (Un)[tex]n\geqslant 1[/tex] est convergente et calculer sa limite.

Autre exo

On considère la suite $(U_n)$ définie par : $U_0=1$ et $U_{n+1}=U_n+2n+3$, avec n entier naturel
1-Etudier la monotonie de $(U_n)$
2- a) Démontrer que pour tout entier naturel n, $U_n>n^2$
b) Quelle est la limite de la suite $(U_n)$
c) Conjecturer une expression de $U_n$ en fonction de n puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.

J'en cherche d'autres...

@+

72Messo10 · 08-01-2020 20:37:53

Merci alors pour l'ex 1 la q1 on a
n/2^n *2^n+1/n+1 >1
Ce qui fait 2n/n+1>1
2n>n+1
n>1

72Messo10 · 08-01-2020 20:51:25

Pour la 2 j avais comme idée de remplacer Un+1 et moins un mais sa marche pas j ai essayé de démontrer que 2Un=la formule-Un mais sa marche pas aussi et je t'avoue que je n'ai plus d'idée

72Messo10 · 08-01-2020 20:55:08

Pour la 3 c'est minoré nn ?

yoshi · 08-01-2020 21:43:33

Re,

J'ai vérifié : j'avais fait un copier/coller, le texte est bien celui-là : il est bien écrit majoré...
Je recontrôlerai l'ensemble de la discussion demain, mais ce soir, je n'ai pas vu que quiconque avait fait une remarque à ce sujet...

Q1 Ex1...
C'est ce que tu appelles montrer qu'une suite est croissante ?
Tu le sors d'où ton $\frac{1}{n+1}$ ?
En outre, tu choisis de ne pas utiliser le Code latex, soit, mais alors fais au moins l'effort de penser à la priorité des opérations s'il te plaît, les parenthèses ne sont pas faites pour les chiens!
Rien que ça c'est de la bouillie pour les chats :
n/2^n *2^n+1/n+1 >1 Si je l'écris avec le Code latex, ça donne :
$\dfrac{n}{2^n}\times 2^n+\dfrac 1 n + 1>1$ et je vois pas le rapport avec l'énoncé...

Je crois qu'il va falloir qu'on te fasse goûter à tes propres purges en te fournissant les démos sans Latex, alors tu verras comme c'est drôle...

@+

72Messo10 · 08-01-2020 21:55:39

merci de ta réponse je suis vraiment désolé mais je suis encore en train d'essayer d'apprendre le latex mais je galère pour mettre un quotient et une addition donc bon...
C'est pas ce que j'ai écris tu as mal compris à cause de ma rédaction pitoyable vraiment désolé.

72Messo10 · 08-01-2020 21:56:56

Sinon j'ai juste calculé le rapport entre Un+1/Un mais je viens de me rendre qu'il s'agis d'une somme donc c'est probablement faux

yoshi · 08-01-2020 22:04:56

Re,

Encore une fois, cette écriture est incorrecte :
Un+1/Un se traduit proprement par $U_n+\dfrac{1}{U_n}$ alors que tu voulais dire : $\dfrac{U_{n+1}}{U_n}$
Sans Latex, tu aurais dû écrire :
U_n+1/U_n
en te servant de l'icône x₂ de la barre d'outils des messages...

@+

72Messo10 · 08-01-2020 22:22:58

Ré vraiment désolé encore une fois, il me paraît bien compliqué de calculer un+1 / Un (désolé mais je n'ai pas d'ordi et sur tel il n'y a pas de x2) car il s'agit d'une somme ne vaudrait il pas mieux calculer Un+1-Un
Si c'est bien cela j'ai fini toutes les questions de l'ex1 sauf la 3 aurais tu le corrigé stp.

yoshi · 09-01-2020 10:18:27

Re,

Tu voulais des exercices difficiles, tu es servi...
1. Oui, il faut calculer $U_{n+1}-U_n$.
Et c'est assez simple : $U_{n+1}-U_n=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}$ et, comme $n\geqslant 1$, alors $U_{n+1}-U_n>0$
Soit encore $U_{n+1}>U_n$
2. Comment as-tu fait ?

3. Elle se fait en partant de la 2.
Il y a plusieurs méthodes.
En voilà une.
$2U_{n+1 }-U_n=\dfrac{2^{n-1}-1}{2^n}$
$2u_{n+1}-u_n=u_{n+1}+(u_{n+1}-u_n))=u_{n+1}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=\cdots$

N-B Latex ne dépends pas d'un ordi quelconque, voilà la source des 2 lignes précédentes où il suffit d'encadrer les formules par un dollar et après ça joue...
2U_{n+1 }-U_n=\dfrac{2^{n-1}-1}{2^n}
2u_{n+1}-u_n=u_{n+1}+(u_{n+1}-u_n))=u_{n+1}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=\cdots

@+

[EDIT]

Exercice 3 :
La suite $(U_n)$ est définie par $U_0$ et $U_1$ et par la relation de récurrence $2U_{n+2} - 3U-{n+1} + U_n = 0$ où n est un nombre entier naturel.
On définit :
$V_n = U_{n+1} - U_n$ et $S_n = V_0 + V_1 + ... + V_{n-1}$
a) Déterminer une relation de récurrence entre $V_{n+1}$ et $V_n$ et en déduire l'expression de $V_n$ en fonction de $n,\; U_0\text{ et }U_1$
b) Calculer $S_n$ de deux façons différentes et en déduire l'expression de $U_n$ en fonction de$n,\; U_0\text{ et }U_1$
c) Calculer la limite de $U_n$ en fonction de $U_0$ et $U_1$

Ne cherche pas les valeurs de $U_0$ et $U_1$, elles ne sont pas données...

Dernière modification par yoshi (09-01-2020 10:39:28)

freddy · 09-01-2020 10:59:33

72Messo10 a écrit :

Pour la 3 c'est minoré nn ?

Salut,

C’est certain que c’est « majorée » car c’est une somme de termes positifs, donc c’est une suite positive croissante. Elle est donc automatiquement minorée par $0$. L’intérêt de prouver qu’elle est majorée est d’en déduire qu’elle est convergente.
En réalité, on étudie dans cet exo le comportement d’une série de terme général $\dfrac{n}{2^n}$. C’est tout sauf facile :-)
Pour la formule à trouver, une solution passerait par une récurrence, en commençant par vérifier qu’elle est vraie pour n= 2 et 3 par exemple.
L’exo est vraiment difficile !

yoshi · 09-01-2020 11:08:24

Re,

Tu avais participé - brillamment - à la discussion ouverte par soso1...

@+

72Messo10 · 09-01-2020 11:56:30

Merci loshi pour tes différents exo.
Je sèche complet sur l'exo 3, l'exo 1 je n'arrive qu à faire la q1 et q4 mais sèche sur q3 et q2 et l'exo 2 j'ai fais la 1 et la 2 mais bloqué sur la 3 et la 4.

freddy · 09-01-2020 15:39:30

Re,

bon, je crois que j'ai la Q2 du 1, je vieillis :-)))

Quand on forme $2U_{n+1}-U_n$ on fait disparaitre les nombres entiers des numérateurs (2, 3, ... , n) et on fait apparaître une série géomérique de raison $\dfrac{1}{2}$. Reste à sommer et le tour est joué !

Dernière modification par freddy (09-01-2020 16:07:54)

72Messo10 · 09-01-2020 17:40:12

Merci de ton aide mais je comprends pas pk une suite géométrique apparaît vu que il y a 2un+1

freddy · 09-01-2020 18:18:52

72Messo10 a écrit :

Merci de ton aide mais je comprends pas pk une suite géométrique apparaît vu que il y a 2un+1

Tu ne comprends pas parce que tu ne fais pas le calcul.
Donc, fais le !

yoshi · 09-01-2020 18:30:25

Re,

mais je comprends pas pk une suite géométrique apparaît vu que il y a 2un+1

C'est toi qui dit ça, le gars qui n'a peur de rien, qui veut des exercices difficiles ?
As-tu essayé ? Je ne crois pas !
Et qui est tellement confiant dans l'aide qu'on lui apporte qu'il n'essaie même pas ?
Évidemment, c'est plus facile de réclamer...
Dernier effort de ma part, si à l'avenir, tu ne te fatigues pas un peu plus, tu te débrouilleras avec qui veut bien t'aider, mais pas moi...

$u_{n+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac {2}{2^2}+\dfrac{3}{2^3}+\dfrac{...}{...}+\dfrac {n}{2^n}+\dfrac {n+1}{2^{n+1}}$

$2u_{n+1}=1+\dfrac{2}{2}+\dfrac{3}{2^2}+\dfrac{4}{2^3}+\dfrac{...}{...}+\dfrac {n+1}{2^n}$

$\quad u_n=\quad\quad\dfrac{1}{2}+\dfrac {2}{2^2}+\dfrac{3}{2^3}+\dfrac{...}{...}+\dfrac {n}{2^n}$
Donc
$2u_{n+1}-u_n=1+1+\dfrac{3}{2^2}+\dfrac{4}{2^3}+\dfrac{...}{...}+\dfrac {n}{2^{n-1}}+\dfrac {n+1}{2^n}-\dfrac{1}{2}-\dfrac {2}{2^2}-\dfrac{3}{2^3}-\dfrac{...}{...}-\dfrac {n}{2^n}$

$2u_{n+1}-u_n=1+\left(1-\dfrac 1 2\right)+\left(\dfrac{3}{2^2}-\dfrac{2}{2^2}\right)+\left(\dfrac{4}{2^3}-\dfrac{3}{2^3}\right)+\cdots$
Doù
$2u_{n+1}-u_n=1+\dfrac 1 2+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}....$

@+

[EDIT]
@freddy : En phase...

Dernière modification par yoshi (09-01-2020 18:32:27)

freddy · 09-01-2020 18:48:49

yoshi a écrit :

Re,
mais je comprends pas pk une suite géométrique apparaît vu que il y a 2un+1
C'est toi qui dit ça, le gars qui n'a peur de rien, qui veut des exercices difficiles ?
As-tu essayé ? Je ne crois pas !
Et qui est tellement confiant dans l'aide qu'on lui apporte qu'il n'essaie même pas ?
Évidemment, c'est plus facile de réclamer...
Dernier effort de ma part, si à l'avenir, tu ne te fatigues pas un peu plus, tu te débrouilleras avec qui veut bien t'aider, mais pas moi...
$u_{n+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac {2}{2^2}+\dfrac{3}{2^3}+\dfrac{...}{...}+\dfrac {n}{2^n}+\dfrac {n+1}{2^{n+1}}$
$2u_{n+1}=1+\dfrac{2}{2}+\dfrac{3}{2^2}+\dfrac{4}{2^3}+\dfrac{...}{...}+\dfrac {n+1}{2^n}$
$\quad u_n=\quad\quad\dfrac{1}{2}+\dfrac {2}{2^2}+\dfrac{3}{2^3}+\dfrac{...}{...}+\dfrac {n}{2^n}$
Donc
$2u_{n+1}-u_n=1+1+\dfrac{3}{2^2}+\dfrac{4}{2^3}+\dfrac{...}{...}+\dfrac {n}{2^{n-1}}+\dfrac {n+1}{2^n}-\dfrac{1}{2}-\dfrac {2}{2^2}-\dfrac{3}{2^3}-\dfrac{...}{...}-\dfrac {n}{2^n}$
$2u_{n+1}-u_n=1+\left(1-\dfrac 1 2\right)+\left(\dfrac{3}{2^2}-\dfrac{2}{2^2}\right)+\left(\dfrac{4}{2^3}-\dfrac{3}{2^3}\right)+\cdots$
Doù
$2u_{n+1}-u_n=1+\dfrac 1 2+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}....$
@+
[EDIT]
@freddy : En phase...

+ 1
Comme disent les jeunes aujourd'hui, faut te sortir les dgts du cl (pardon !) :-)
Quand tu auras fait ça, tu prouves qu'elle est convergente en trouvant un majorant, puis tu calcules sa limite !
En selle !

72Messo10 · 09-01-2020 18:52:53

Désolé tu as raison je n'ai pas essayé et mtn je comprends mieux mais malgré que j'ai reecrit je ne comprends pk le premier terme de 2Un+1-Un est égal à 1 car pour moi cela fait 1/2 car 2fois1/2 =1 et 1-1/2=1/2
Merci de ton aide.

72Messo10 · 09-01-2020 19:00:37

Sinon pour trouver le majorant d'habitude mon prof nous donne le majorant et nous dis de le démontrer par récurrence or la il on ne nous le donne pas, pourrais tu s'il te plaît me montrer une méthode avec un autre exemple afin de le trouver. Merci

freddy · 09-01-2020 19:30:19

72Messo10 a écrit :

Sinon pour trouver le majorant d'habitude mon prof nous donne le majorant et nous dis de le démontrer par récurrence or la il on ne nous le donne pas, pourrais tu s'il te plaît me montrer une méthode avec un autre exemple afin de le trouver. Merci

Dans le premier cas, tu as $n+1$ termes, dans le second, tu en a $n$, il en reste donc bien un tout seul. Je te laisse trouver lequel. Yoshi t'a fait tout le boulot, sers t'en !
Pour le majorant, réfléchis un peu, il est à ta portée car on le déduit de la formule avec un peu d'imagination.

Dernière modification par freddy (09-01-2020 19:31:17)

72Messo10 · 09-01-2020 20:06:50

Pour le majorant je pense qu'il égal à 2 mais je n'arrive pas à le démontrer j'ai essayé de calculer la somme d'une suite géométrique de 2Un+1-Un mais j'arrive sur une impasse sinon je ne comprends toujours pas pourquoi le premier terme est 1 sachant que celui de Un+1et Un est 1/2.
Merci de votre aide en tout cas et désolé si je vous énerve.

freddy · 09-01-2020 21:37:22

72Messo10 a écrit :

Pour le majorant je pense qu'il égal à 2 mais je n'arrive pas à le démontrer j'ai essayé de calculer la somme d'une suite géométrique de 2Un+1-Un mais j'arrive sur une impasse sinon je ne comprends toujours pas pourquoi le premier terme est 1 sachant que celui de Un+1et Un est 1/2.
Merci de votre aide en tout cas et désolé si je vous énerve.

Je me demande si tu sais lire.
Yoshi a fait le boulot à ta place et tu ne t'en sers même pas, c'est un peu agaçant ...
Pose toi et réfléchis, faire des maths suppose que tu saches tout autant lire que réfléchir, avec sagacité, simplicité et humilité. Sinon, fais autre chose !

Oui, $2$ est un majorant tout à fait acceptable, prouve le, c'est assez facile. Et après, tu calcules la limite de la suite, le raisonnement est assez simple aussi. Le plus dur était d'établir la formule de la Q2, à partir de laquelle on prouve que $2$ est un majorant d'ailleurs.

Pour info, j'ai fait l'autre exo, plus facile que celui-là.

Dernière modification par freddy (09-01-2020 21:42:51)

72Messo10 · 09-01-2020 21:59:24

Freedy je suis vraiment désolé mais sa fait au moins 2h que j'essaye de démontrer le majorant et je ne vois absolument pas comment faire et pour la limite je pense que c'est égal à 1 mais je pense que c'est faux.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 08-01-2020 18:02:45

Suites ds / explicatiob des proprietes de zigma

#2 08-01-2020 20:23:05

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#3 08-01-2020 20:37:53

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#4 08-01-2020 20:51:25

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#5 08-01-2020 20:55:08

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#6 08-01-2020 21:43:33

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#7 08-01-2020 21:55:39

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#8 08-01-2020 21:56:56

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#9 08-01-2020 22:04:56

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#10 08-01-2020 22:22:58

Re : Suites ds / explicatiob des proprietes de zigma

#11 09-01-2020 10:18:27

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#12 09-01-2020 10:59:33

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#13 09-01-2020 11:08:24

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#15 09-01-2020 15:39:30

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#17 09-01-2020 18:18:52

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#19 09-01-2020 18:48:49

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#21 09-01-2020 19:00:37

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#22 09-01-2020 19:30:19

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#25 09-01-2020 21:59:24

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