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Kahina

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Questions de vrai faux

Bonsoir à tous (désolée si je poste énormément sur le forum) :

* Si Sup E <= Sup F < oo alors il existe un élément c appartenant à F qui est un majorant de E
Personnellement, j'avais mis que c'était vrai ,alors qu'en réalité c'est faux et je ne comprends pas pourquoi ...

* Soient a, b appartenant à R, a < b, si une fonction f satisfait f(a) < 0 et f(b) > 0, alors il existe c appartenant à ]a, b [ tel que f(c) = 0.
De même j'avais mis que c'était vrai, alors qu'en réalité c'est faux également, en raisonnant avec e TVI ça me paraissait logique.

* soit f : I --> R une fonction définie sur un intervalle ouvert I inclus dans R et soit x0 appartenant à I, si la limite

             f(x0 + h) - f(x0 - h)
lim         ----------------------   existe, alors f est dérivable en x0, j'ai mis que c'était faux, mais j'ai plus raisonné par intuition qu'autre chose
x-> 0              2h

                            (-2) ^k+1
* et enfin, la série -----------
                                 k!

converge t elle absolument selon vous ?

J'ai vraiment énormément de mal avec les séries ...

Dernière modification par Kahina (05-01-2020 19:08:19)

Kahina

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Re : Questions de vrai faux

je précise que j'ai utilisé le critère de d'alembert, en décomposant (-2) ^k+1 en (-2) ¹ et (-2) ^k , et on pose alors R = 1/k, et comme lim x-> +00 1/k = 0, je pense qu'elle converge absolument.... mais je ne sais pas si ce que j'ai fait est juste

Seifcherif

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Re : Questions de vrai faux

Bonjour , pour le deuxième point, une condition nécéssaire pour que le résultat soit vrai est la continuité de la fonction f sur l'intervalle

Seifcherif

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Re : Questions de vrai faux

pour le premier point , pour voir que c'est faux, il suffit de considérer E=F , par exemple E= {1-1/n }

Kahina

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Re : Questions de vrai faux

je saisis l'idée ceci étant je ne comprends pas la notation à la fin de votre message ...

LCTD

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Re : Questions de vrai faux

Bonjour,

pour $\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$ en fait on regarde à droite et à gauche de $x_0$ à une distance h de manière symétrique. $x_0$ est le centre de l'intervalle [-h,h].
On peut écrire : $\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=\lim_{h \to 0}\frac12[\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}]$

on voit apparaitre les dérivées à gauche et à droite de $x_0$.
Si la dérivée à droite existe en $x_0$ , f admet une limite à droite en $x_0$.
Si la dérivée à gauche existe en $x_0$ , f admet une limite à gauche en $x_0$.
Si f($x_0$) existe et si (la dérivée à droite existe en $x_0$)= (dérivée à gauche existe en $x_0$)= f($x_0$) alors f est continue ( donc dérivable) en $x_0$

Kahina

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Re : Questions de vrai faux

Merci infiniment, j'ai bien mieux compris ainsi !

c'était très clair ^^

LCTD

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Re : Questions de vrai faux

Bonjour,

Pour la série $u_k=\frac{-2^{k+1}}{k!}= (-1)^{k+1}\frac{2^{k+1}}{k!}$ , on pose $v_k=|u_k|$

on calcul $\frac{v_{k+1}}{v_k}$=$\frac{2}{k+1}$  ( si je n'ai pas fait de faute(s)) qui tend vers 0 quand k tend vers l'infini.

D'après la règle de d'Alembert, le terme de la série $v_k$ converge, donc la série de terme générale $u_k$ converge absolument.