suite définie recursivement

Kahina · 03-01-2020 21:41:16

Bonsoir bonsoir et bonne année à tous !!!

je me permets de venir à la pêche aux méthodes sur quelque chose de pourtant basique mais qui me pose un peu souci : définir explicitement une suite à partir de sa forme récursive.

Exemple, soit la suite de nombres réels (a_n) et a_n+1 = 2a_n + 1 définie récursivement par a0 = 1 pour tout n appartenant à N

Comment définiriez vous le terme a_n ?

Merci d'avance

K

Zebulor · 03-01-2020 22:31:44

Bonsoir, bonne année,
Par $a_n=2^{n+1}-1$. Oups je viens de voir que tu poses une question sur la méthode(il est tard)
Tu peux par exemple expliciter les premiers termes en fonction de sommes de puissances de 2.
Il se trouve que tu tombes sur une somme géométrique.

Puis faire une démonstration par récurrence, qui se fait très facilement

Dernière modification par Zebulor (03-01-2020 22:39:41)

Kahina · 03-01-2020 22:33:42

Bonsoir Zebulor, merci beaucoup de votre réponse.

Quelle méthode avez vous appliquée ?

Zebulor · 03-01-2020 22:35:49

Tu peux me tutoyer si tu veux

Kahina · 03-01-2020 22:42:03

D'accord, je vois (ok pour le tutoiement et pas de souci pour l'heure haha), et je me souviens que dans la correction (que je n'ai plus sous la main), ils avaient alors procédé en posant un l, une suite Un, à partir de laquelle on avait explicité An...

Zebulor · 03-01-2020 22:48:20

Probable qu il y ait plusieurs angles d’approche...

Roro · 03-01-2020 22:57:40

Bonsoir,

Une méthode assez classique pour étudier ces suites géométrico-arithmétiques : $a_{n+1} = \alpha a_n + \beta$, est de chercher un nombre réel $r$ tel que la suite définie par $b_n = a_n + r$ soit géométrique.

On peut alors expliciter facilement $b_n$, puis $a_n$.

Dans ton cas, on trouve $r=1$ et $b_{n+1} = 2 b_n$.

Roro.

Dernière modification par Roro (03-01-2020 23:04:43)

Kahina · 03-01-2020 23:01:32

oh oui d'accord je vois merci beaucoup !

Zebulor · 04-01-2020 10:08:30

Re, histoire de rajouter quelques petites au chocolat :
Variante : pour suite arithmetico géométrique définie par son premier terme $a_0$ et telle que pour tout $n$, $a_{n+1}=b.a_n+c$, il vient :
$a_1=b.a_0+c$
$a_2=b.(b.a_0c)+c=b^2.a_0+b.c+c$
$a_3=b.(b^2.a_0+b.c+c)+c$=..on développe.
Etc...
.....=.....
De sorte qu on peut généraliser lorsque $b \ne 1$ :
$$a_n=b^n.a_0+c. \frac {1-b^n}{1-b}$$.
Et dans ton cas particulier on retrouve bien nos petits.
•Lorsque b vaut 1, la suite est arithmétique « pure » et c’est une autre formule
•Lorsque c vaut 0, on retrouve bien le terme général d’une suite géométrique.
Cette méthode présente, me semble t il, l’avantage d’être directe.

Dernière modification par Zebulor (04-01-2020 12:55:23)

Kahina · 04-01-2020 17:12:03

oh merci beaucoup !
effectivement ça va à l'essentiel

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suite définie recursivement

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Re : suite définie recursivement

#3 03-01-2020 22:33:42

Re : suite définie recursivement

#4 03-01-2020 22:35:49

Re : suite définie recursivement

#5 03-01-2020 22:42:03

Re : suite définie recursivement

#6 03-01-2020 22:48:20

Re : suite définie recursivement

#7 03-01-2020 22:57:40

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#8 03-01-2020 23:01:32

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#9 04-01-2020 10:08:30

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#10 04-01-2020 17:12:03

Re : suite définie recursivement

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