Forum de mathématiques - Bibm@th.net

martiflydoc

Membre

Inscription : 20-10-2019

Messages : 65

Fonction holomorphe

Bonjour,
Le conjugué d'une fonction holomorphe sur un domaine Ω est-il également holomorphe ?
Merci

Maenwe

Membre confirmé

Inscription : 06-09-2019

Messages : 409

Re : Fonction holomorphe

Bonjour,
Il me semble que c'est au début d'un cours sur les fonctions holomorphes ce genre de choses, donc tu devrais aussi pouvoir y répondre toi même :
Connais tu les équations de Cauchy-Riemann ?

martiflydoc

Membre

Inscription : 20-10-2019

Messages : 65

Re : Fonction holomorphe

Bonjour,
J'ai entendu parler d'une version. Mais en revanche, lorsqu'on passe au conjugué l'équation de Cauchy Riemann (pour un complexe z fixé tel que f soit dérivable en z), le complexe i devient -i. De plus, il faudrait prouver que la dérivée partielle de la fonction conjuguée est le conjugué de la dérivée partielle, mais je ne sais pas si c'est vrai.

Est-bien cela dont vous parlez ?
Merci

Maenwe

Membre confirmé

Inscription : 06-09-2019

Messages : 409

Re : Fonction holomorphe

Je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire...
L'équation de Cauchy-Riemann se réécrit avec l'opérateur différentiel $\overline \partial$, l'équation de Cauchy-Riemann est équivalente à :
$\overline \partial f = 0$.
ça te dit quelque chose ce symbole ?

martiflydoc

Membre

Inscription : 20-10-2019

Messages : 65

Re : Fonction holomorphe

Non, je ne connais pas ce symbole, désolé

Maenwe

Membre confirmé

Inscription : 06-09-2019

Messages : 409

Re : Fonction holomorphe

Bonjour,
Ah mince c'est embêtant, on va faire autrement alors.
Bon tu sais que la dérivée partielle de $f$ selon $x$ (la partie réelle) est égale à sa dérivée $f'$ (si tu ne le sais pas je te le démontrerai).
Donc $f' = u_{x} + i u_{x}$ (avec $f = u + iv$ et $u_{x} = \frac{\partial f}{\partial x}$). Donc par l'équation de Cauchy-Riemann :
$u_{x} = v_{y}$ et $v_{x} = - u_{y}$.
Et puisque $\overline f$ est holomorphe et $\overline f = u - iv$, on a de la même façon : $u_{x} = -v_{y}$ et $-v_{x} = - u_{y}$.
Donc : $u_{x} = - u_{x}$ et $v_{x} = -v_{x}$ donc $f' = u_{x} + iv_{x} = 0+i.0 = 0$.
Donc $f$ est localement constante.