Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Johned931

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Fonction mesurable

Bonjour, 
On considère X1,....Xn, n variables aléatoires  réelles indépendantes et identiquement distribuées, et la tribu Fn engendrée par X1,...Xn.

Pourquoi la suite Sn = X1 + X2 +.... + Xn est-elle Fn-mesurable ? Cela semble assez intuitif mais je ne vois pas exactement la démonstration rigoureuse.

MERCI

Dernière modification par Johned931 (29-12-2019 19:52:00)

LCTD

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Re : Fonction mesurable

Bonjour,

Cette définition peut éventuellement vous aider :

Sur un espace probabilisé quelconque, soit un ensemble $\Omega$ quelconque et $P(\Omega)$ l'ensemble des parties de $\Omega$. On appelle tribu de $\Omega$ toute famille F de $P(\Omega)$  vérifiant les 3 propriétés suivantes :
1) F contient $\Omega$
2) F est stable pour la réunion dénombrable
3) F est stable pour la complémentation par rapport à $\Omega$

le couple ($\Omega$,F) est appelé espace mesurable et les éléments de F sont appelés parties mesurables de $\Omega$.

Johned931

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Re : Fonction mesurable

Oui mais ici il s'agit de fonction mesurable par rapport à une tribu,pas d'espace mesurable, ce n'est pas exactement la même chose.

LCTD

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Re : Fonction mesurable

Bonjour,

il y a sans doute un lien car :
Soit un ensemble fini $\Omega$  et P($\Omega$) l'ensemble des parties de $\Omega$. On appelle tribu de $\Omega$ toute famille  F de P($\Omega$)  contenant $\Omega$  et stable pour la réunion et la complémentation par rapport à $\Omega$. Le couple ( $\Omega$ ,F) est appelé espace probabilisable.

Johned931

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Re : Fonction mesurable

Bonjour,
Je connais toutes ces définitions, mais là on parle de fonction mesurable et de tribu engendrée, pas de tribu tout court. Ce n'est pas pareil.

Dernière modification par Johned931 (30-12-2019 18:06:48)

LCTD

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Re : Fonction mesurable

Bonjour,

Sorry si cela ne vous a pas aider,mais on peut quand même discuter. Il me semble que les définitions sont générales et qu'une tribu engendrée (c’est-à-dire l'intersection de toutes les tribus sur $\Omega$) est une tribu et en a donc les propriétés.

LCTD

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Re : Fonction mesurable

Bonjour,

Dans votre premier post, Fn est une tribu ou une fonction?

Johned931

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Re : Fonction mesurable

Bonjour ,
Fn est une tribu, la tribu engendrée par le vecteur aléatoire (X1,....Xn)
Merci

Maenwe

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Re : Fonction mesurable

Bonsoir,
Je me permets d'intervenir,
Tout d'abord il me semble qu'il manque quelques trucs dans le post initiale, par exemple il aurait été bien de préciser que $X_{1},...,X_{n}$ sont des variable aléatoires de $\Omega$ vers $\mathbb{R}$.
Ensuite, préciser que la tribu engendrée par ces vecteurs est la tribu engendré par leur image inverse ($X_{i}^{-1}$) (si j'ai bien compris ce que tu voulais dire par "tribu engendrée par les vecteurs etc.").
Bon et bien si j'ai tout bien raison sur ce qui précède, la réponse à ta question initiale est toute bête, puisque par définition de $F_{n}$ $X_{1},...,X_{n}$ sont mesurables et que la somme de fonctions mesurables est une fonction mesurable alors $S_{n}$ est une fonction mesurable.

Est-ce ceci que tu attendais ?

Johned931

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Re : Fonction mesurable

Bonjour,
En effet, c'était cela.
Merci beaucoup !