exo rassemblant suites/ calcul dans R/Python

72Messo10 · 28-12-2019 11:36:01

Bonjour,

Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
1. Montrer que |a^2 −2b^2|> 1.

2. On suppose de plus que |a| < 10^6 et que |b| < 10^6. Prouver que |a−b√2| > 4×10^−7,
puis que |a/b −√2|> 4×10^−13.

3. Interprétation : comment avoir une ≪ très bonne ≫ approximation de √2 par un rationnel?

4. Trois réels a, b, c satisfont a l’égalité : (bc + ca + ab)^3 = abc(a + b + c)^3. Démontrer que ces trois réels sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique.

5. Écrire en Python une fonction qui affiche tous les diviseurs entiers naturels d’un entier naturel n non nul passé en paramètre à cette fonction.

J'ai donc fait la 1 en disant que valeur absolue de a et b appartient forcement à N puis que cela peut pas etre égal à 0 car racine de 2 peut pas s'écrire sous la forme a/b car c'est un irrationnel.
Pour la 2 j'ai juste vue l'identité remarquable.
Pour la 3 et la 5 je n'ai aucune idée et enfin pour la 4 j'ai remplace b par a fois q et c par a fois q^2 mais mon prof m'as dis qu'il fallait pas exprimer.

Voilà ,c'est un peu long désolé merci de bien vouloir m'aider svp.

Dernière modification par yoshi (28-12-2019 11:44:07)

72Messo10 · 28-12-2019 11:50:23

J'ai oublié mais à chaque fois c'est >=

72Messo10 · 28-12-2019 12:34:19

Ah désolé yoshi j'avais pas remarqué en effet bonjour

72Messo10 · 28-12-2019 14:35:13

Personne pour m'aider svp ?

yoshi · 28-12-2019 16:20:26

Salut,

Je vais te répondre pour le point 5 (c'est au point).
Le point 1, j'avais cru trouver la solution et je viens de m'apercevoir de mon erreur...
Si tu voulais par contre expliciter ta pensée sur ce que tu as déjà trouvé, ça nous ferait gagner du temps.
Ta démo du 1 me parait "vaseuse"...

Donc parlons Python.
On dit que b divise a si et seulement si le reste de la division de a par b est nul...
Le reste en Python est %
Donc tu auras un test à faire :

if a % b ==0 :

Mais avant tout : prendre crayon + papier et essayer de mettre en mots ce que tu vas devoir faire...
Déjà un nombre a toujours au moins 2 diviseurs entiers : 1 et lui-même.
N-B : s'il n'en a que deux, on le nomme nombre premier.
On apprenait dans le temps comment trouver la liste des diviseurs d'un nombre.
Prenons 384...
On écrivais les diviseurs sur 2 lignes différentes, comme ça :
1 2 3 4
384 192
Pourquoi ? parce que lorsque tu as un diviseur, tu en obtiens automatiquement un deuxième $384\div 2=192$
On continue donc :
$384\div 3=128$, $384\div 4 =96$
1 2 3 4
384 192 128 96
(5 n'étant pas un diviseur, ni 7, on passe à 6 et 8)
$384\div 6=128$, $384\div 8 =96$
1 2 3 4 6 8
384 192 128 96 64 48
Se divise-t-il par 9 ? non. On passe
Se divise-t-il par 10 ? non. On passe
Se divise-t-il par 11 ? non. On passe
Se divise-t-il par 12 ? oui.
On traite :
$384\div 12 = 32$
1 2 3 4 6 8 12
384 192 128 96 64 48 32
Se divise-t-il par 13 ? non. On passe
Se divise-t-il par 14 ? non. On passe
Se divise-t-il par 15 ? non. On passe
Se divise-t-il par 12 ? oui.
On traite :
$384\div 16 = 32$
1 2 3 4 6 8 12 16
384 192 128 96 64 48 32 24
Faut-il aller plus loin ?
Le suivant serait 17, mais pour obtenir un 4 final il faudrait multiplier par un nombre terminé par 2 : 2, 12 et 22...
2 et 12 exclus parce que déjà traités, quant à 22, il faudrait que 384 se divise par 11. Donc non
18 éliminé aussi : 384 pas multiple de 9, 20 éliminé : 384 pas multiple de 5, 21 éliminé : 387 pas multiple de 7.
23 ? dans la table de 3 pour obtenir un 4 il faut multiplier. par un nombre terminé par 8,
8 et 18 sont déjà éliminés... Donc on passe.
28 alors ?
Là avant 28, il y a 24, et $384\div 24 = 16$
Donc, inutile d'aller plus loin, on retomberait sur les diviseurs inférieurs à 16...
Et on écrivait quoi ?
En lisant de G à D de 1 à la fin (16) puis en descendant d'une ligne sur la même colonne, on lit de D à g jusqu'au début :
Diviseurs(384) $=\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 128, 192, 384\}$

Pourquoi faut-il s'arrêter à 24 ? Parce qu'entre 16 et 24, se trouve $\sqrt{384}\approx 19,5959...$

Bon, maintenant, se pose la question de demander à Python de faire ça...
Mais aussi du stockage des résultats. Sais-tu utiliser une liste ?
1. Si oui, on prend la méthode décrite ci-dessus en stockant les diviseurs dans une liste,
2. Si non, on les fait s'afficher un par un, en testant un par un tous les nombres de 1 à n.

Cas n° 1
Pseudo-code, comme ça :
calcul de rac = racine entière du nombre n passé en paramètre
Liste=[1,n]
diviseur =1
Tant que diviseur < rac
augmenter diviseur de 1
Tester si reste de n/diviseur = 0
Si oui
stocker le diviseur dans la liste à la suite
si diviseur < rac
stocker quotient de n par diviseur dans la liste à la suite...
retourner liste triée ou non

Avec n =1024
Liste triée : [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024]
Liste non triée : [1, 1024, 2, 512, 4, 256, 8, 128, 16, 64, 32]

Pourquoi la ligne si diviseur < rac ?
Avec 1024, sinon j'obtiens : [1, 2, 4, 8, 16, 32, 32, 64, 128, 256, 512, 1024]

Cas n°2
Là j'utilise une boucle (for):
Pour diviseur allant de 1 à n (attention !)
Si reste de n/diviseur vaut 0
Afficher diviseur (sur la même ligne que le précédent ou pas)
Et on retourne... rien

Tu choisis..

@+

72Messo10 · 28-12-2019 16:50:39

Merci de ta réponse alors pour la 1 j'ai juste dis que a et b appartiennent a Z donc que leur valeur absolue appartient à 'donc valeur absolue de a^2-2b^2 est forcément supérieure ou égal à 0 puis j' ai démontre par l'absurde que cela pouvait pas être égal 0 car cela voudrait dire que racine de 2 pourrait s'écrire sous la forme a/b
Pour le point 2 j'ai pensé à utilisé l'inégalité triangulaire mais j'arrive pas à la mettre en place
Enfin pour python je n'ai aucune base mais j'ai compris ce que tu voulais dire par contre je comprends mieux ton programme du cas numéro 2

72Messo10 · 28-12-2019 17:01:53

L'enoncer de la q1 c'est montrer que valeur absolue de a^2-2b^2>=1 avec à et b des entiers relatifs

yoshi · 28-12-2019 17:35:55

Re,

pour la 1 j'ai juste dis que a et b appartiennent a Z donc que leur valeur absolue appartient à N donc valeur absolue de a^2-2b^2 est forcément supérieure ou égal à 0 puis j' ai démontre par l'absurde que cela pouvait pas être égal 0 car cela voudrait dire que racine de 2 pourrait s'écrire sous la forme a/b

Pour ta réponse à la Q1.
Il est inutile de répéter ton énoncé ou de paraphraser ta solution, je les ai lus tous les deux...
L'énoncé t'a dit simplement que a et b sont des naturels non nuls.
Il ne t'a pas dit que $a\neq b$
Cas n° 1
$a=b \geqslant 1$
$|a^2-2b^2|=|a^2-2a^2|=|-a^2|= a^2$
Et comme $a \geqslant 1$ alors $a^2 \geqslant 1$ et $|a^2-2b^2|\geqslant 1$

Cas n°2
$a\neq b$,
Tu as juste montré que $|a^2-2b^2| \geqslant 0$, l'énoncé te dit $\geqslant 1$...
Mais ça m'a donné une idée.
Supposons qu'il existe 2 entiers relatifs tels que $0<|a^2-2b^2|<1$
C'est à dire que
soit :
a) $0<a^2-2b^2<1$
soit
b) $-1<a^2-2b^2<0$
a)
j'ajoute $2b^2$ à chaque membre de l'inégalité
On a donc $2b^2<a^2<2b^2+1$
Or le carré d'un nombre entier a naturel ou relatif) est un entier.
Mais il n'existe aucun entier compris entre deux entiers consécutifs
Donc impossible...
b) Je te laisse faire...

Maintenant je vais me pencher sur la suite...
Mais quelqu'un va bien passer et te guider avant moi.
Ce serait bien pour toi...

Python
Oui, je pensais bien que tu comprendrais mieux le cas n°2 : c'est une méthode basique, naïve, qui marche très bien mais qui demanderait à être revue pour être optimisée, elle exécute bien trop de calculs...

@+

72Messo10 · 28-12-2019 18:14:21

Merci pour ta réponse mais je n'ai pas compris ton cas numéro pk à la première ligne tu as écris que a=b>1
Sinon pour le cas numéro 2 le b donne donc
2b^2-1<a^2<2b^2
Or 2b^2 est forcément un entier et 2b^2-1 est l'entier qui le précédent a^2 étant aussi un entier cette égalité est donc impossible car il ne peut pas y avoir un entier entre 2 entiers consécutifs.
Merci pour ton aide
Par contre pour python le cas numéro 2 est totalement rédigé en français il ne me reste plus qu'à le traduire ?

yoshi · 28-12-2019 19:01:34

Bonsoir,

Python : oui.
Quand ça fonctionnera chez toi, on tâchera de raffiner avec des choses que tu connais...
Sais tu te servir d'une boucle for ? d'une boucle while ? d'une liste ?

Question 1
Cas n° 1
a=b.
C'est vrai...
J'ai oublié soit le cas où a et b <=-1, soit les valeurs absolues, ce qui est plus court...
Donc je reprends
Puisque a et b sont des entiers relatifs égaux non nuls, alors $|b| \geqslant 1$ et $|b| \geqslant 1$
Donc : $a^2\geqslant 1$ et $b^2\geqslant 1$
$|a^2-2b^2|=|a^2-2a^2|=|-a^2|= a^2$
Et comme $a^2 \geqslant 1$ alors $|a^2-2b^2|\geqslant 1$

Cas n°2
oui

Question 2 et 3.
La 3, j'entrevois.
La 2, je sèche...
Les puissances négatives m'arrêtent...
Mais je continue à chercher.

@+

72Messo10 · 28-12-2019 19:15:20

Merci beaucoup de tes réponses j'essaie de chercher pour la deux pour l'instant j'ai trouver une identité remarquable (a-b racine de 2) (a+b racine de 2) ce qui est égal à a^2-2b^2 et on remarque que c'est la formule de la question 1, j'espère que sa t'aideras

yoshi · 28-12-2019 20:24:03

Re,

J'avais vu...
J'en suis là :
$|a^2-2b^2|=|(a+b\sqrt 2)(a-b\sqrt 2)|=|a+b\sqrt 2|\times |a-b\sqrt 2|$
Donc comme $|a^2-2b^2|\geqslant 1$
alors on a :
$|a+b\sqrt 2|\times |a-b\sqrt 2|\geqslant 1$
$\iff$
$|a-b\sqrt 2|\geqslant \dfrac{1}{|a+b\sqrt 2|}$
Et il faudrait que je prouve que $\dfrac{1}{|a+b\sqrt 2|}> 4\times 10^{-7}$
C'est à dire encore que
$|a+b\sqrt 2|< 2.5 \times 10^6$

Hmmm...
Il me semble que je tiens une idée qui devrait faire l'affaire...
Je vais choisir un majorant de $a+b\sqrt 2$
Je prends a et b positifs.
De $b<10^6$ et $\sqrt 2<1.5$, je tire $b\sqrt 2<1.5\times 10^6$
De $a<10^6$ et $b\sqrt 2<1.5\times 10^6$ je tire $a+b\sqrt 2<2.5\times 10^6$
Et $\dfrac{1}{a+b\sqrt 2}> \dfrac{1}{2.5\times 10^{6}}$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{1}{a+b\sqrt 2}>4\times 10^{-7}$
On a donc :
$|a-b\sqrt 2|\geqslant \dfrac{1}{|a+b\sqrt 2|}>4\times 10^{-7}$

Il me reste à régler le problème des valeurs absolues que j'ai fait sauter en route en prenant a et b tous deux >0...

La suite, si je trouve qq ch, demain.
Si quelqu'un (ou toi) trouve avant moi, tant mieux...

@+

Dernière modification par yoshi (28-12-2019 20:44:18)

72Messo10 · 28-12-2019 20:34:08

Ah en effet c'est vraiment pas bête merci beaucoup pour ton aide je suis impressionne.

yoshi · 28-12-2019 21:16:39

RE,

J'avais édité mon post, mais, si tu repassais, tu risquais de ne pas le voir et le lire, alors je le transporte ci-dessous.
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[EDIT]
Et $\dfrac{4\times 10^{-7}}{10^6}=4\times 10^{-7}\times 10^{-6}=4\times 10^{-13}$
Justement $|b|<10^6$ et ça tombe d'autant mieux que :
$|a-b\sqrt 2|=\left|b\left(\dfrac a b -\sqrt 2\right)\right|=|b|\times \left|\dfrac a b -\sqrt 2\right|$

Et comme on a :
$|a-b\sqrt 2|>4\times 10^{-7}$ alors $|b|\times\left|\dfrac a b -\sqrt 2\right|>4\times 10^{-7}$

Reste le passage à la division par |b|... Plus envie ce soir... je me retire pour de bon !
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@+

72Messo10 · 28-12-2019 21:33:48

Merci de ta réponse mais pk tu dives par 10^6 ?

yoshi · 28-12-2019 21:42:30

Re,

Relis attentivement l'EDIT et l'énoncé qui demande $\left|\dfrac a b -\sqrt 2\right|>4\times 10^{-13}$ en partant de $4 \times 10^{-7}$

@+

Maenwe · 28-12-2019 22:01:34

Bonsoir,
Yoshi a pratiquement fait tout le travail !
L'histoire de la positivité des nombres se règles par inégalité triangulaire : $\lvert a+b \sqrt{2} \rvert \leq \lvert a \rvert + \lvert b \rvert \sqrt{2}$. Donc, $\lvert \frac{1}{ a+b \sqrt{2} } \rvert > \frac{1}{\lvert a \rvert + \lvert b \rvert \sqrt{2}}$.

Dernière modification par Maenwe (28-12-2019 22:22:16)

72Messo10 · 28-12-2019 22:34:14

Désolé Loshi je ne comprends toujours pas
Et Maenwe comment tu arrives à valeur absolue de a+b racine de 2 < va valeur absolue de a +b racine de 2?

Zebulor · 28-12-2019 22:45:16

Bonsoir,
Parce que pour $\forall (a,b) \in \mathbb R , |a+b| \le |a|+|b|$
@72 Messo10: j ai un cadeau python : discussion $u_n=\frac {2^n}{n^3}$

Dernière modification par Zebulor (28-12-2019 22:48:24)

Maenwe · 28-12-2019 22:49:04

@72Messo10 regarde ce qu'il a écrit dans son avant-dernier post, avec la dernière inégalité, ça ressemble beaucoup à la deuxième égalité demandé dans la 2 non ? Eh bien essaye de la faire encore plus ressembler...

72Messo10 · 28-12-2019 23:09:19

Ah il a choisi 10^6 pour se rapprocher de ce que l'on veut demontrer ?

Maenwe · 29-12-2019 09:35:50

Je me permets de répondre à la place de Yoshi :
Oui mais pourquoi $10^{6}$ ? Quel est son lien avec ce que tu sais déjà ? C'est comme ça que tu dois raisonner, créer de nouvels données puis faire des liens pour résoudre la suite à moins que les questions suivantes soit dénué de lien et la première chose à faire à se poser comme question quand on a un truc comme "en déduire que" c'est : "Quel est le lien avec la question précédente ?" et essayer de raffiner cette question...

freddy · 29-12-2019 09:54:23

72Messo10 a écrit :

Bonjour,
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
1. Montrer que |a^2 −2b^2|> 1.

J'ai donc fait la 1 en disant que valeur absolue de a et b appartient forcement à N puis que cela peut pas etre égal à 0 car racine de 2 peut pas s'écrire sous la forme a/b car c'est un irrationnel.

Salut,

en toute rigueur,il faut reconnaitre que la preuve de notre ami, certes maladroite, est correcte.
En effet, il dit tout d'abord que $\lvert a^2-2b^2\rvert$ ne peut être qu'un entier puisque a et b sont deux entiers relatifs non nuls.
Ensuite, il dit que cette différence ne peut être nulle.
En effet, supposons que $\lvert a^2-2b^2\rvert=0$, alors on en déduit que $\left(\dfrac{a}{b}\right)^2=2 $. Et on sait $\sqrt{2}$ ne peut pas être le quotient de deux nombres entiers.
Par conséquent, on est certain que $\lvert a^2-2b^2\rvert \ge 1$

yoshi · 29-12-2019 10:23:21

Saut,

@Maenwe... No problem...

Pour être un peu plus précis dans ce que j'ai dit hier soir, je me suis longtemps demandé d'où sortait ce $4 \times 10^{-7}$, puis j'ai fin par voir (une bonne heure quand même) $4 =\dfrac{1}{2,5\times 10^{-1}}$...
Après je me suis demandé comment arriver à 2,5...
Et j'ai vu assez vite (10 min) que avec $a+b\sqrt2$ et $|a|<10^6$ et $|b|<10^6$ qu'il y aurait mise en facteur de $10^6$ et que par conséquent 2,5=1+1,5, et que 1,5 et bien $\sqrt 2 <1,5$
La deuxième grosse interrogation a été :
quel rapport entre $4 \times 10^{-7}$ et $4 \times 10^{-13}$...
J'ai vu très vite que :
$4 \times 10^{-13}=\dfrac{4\times 10^{-7}}{10^6}$.
Donc nouvelle question où aller pêcher ce $10^6$ ?
Retour à l'énoncé : $|a|<10^6$ et $|b|<10^6$...
Nouvelle question : pourquoi diviser ? ou plus précisément comment utiliser l'énoncé pour justifier cette division par $10^6$ ?
L'énoncé dit encore :

Montrer que $|a-b\sqrt 2|>4\times 10^{-7}$ puis que $\left|\dfrac a b -\sqrt 2\right|>4\times 10^{-13}$

La réponse est
$|a-b\sqrt 2|=|b|\times \left|\dfrac a b -\sqrt 2\right|$ ou encore $\left|\dfrac a b -\sqrt 2\right|=\dfrac{|a-b\sqrt 2|}{|b|}$

Après, il faut encore mettre les ingrédients dans le bon ordre, et faire monter la mayonnaise...
J'ai trouvé cet exo intéressant, mais particulièrement subtil donc difficile...

@+

[EDIT]
@freddy.
Dit comme ça, d'accord...
a et b sont deux entiers, $a^2$ et $b^2$ aussi donc. Et évidemment $2b^2$ itou...
En conséquence, la différence $a^2-2b^2$ également.
Cette différence ne peut être égale à 0 à cause de l'irrationnalité de $\sqrt 2$
Donc dans $\mathbb Z^*$, on a donc
soit $a^2-2b^2 >0$ donc $a^2-2b^2\geqslant 1$
soit $a^2-2b^2 <0$ donc $a^2-2b^2\leqslant -1$
Et on rassemble ces deux cas en un seul par $|a^2-2b^2|\geqslant 1$

Mais quand tu écris :

il dit tout d'abord que $|a^2−2b^2|$ ne peut être qu'un entier puisque a et b sont deux entiers relatifs non nuls

Pas d'accord.
Il a écrit, post #1:

J'ai donc fait la 1 en disant que valeur absolue de a et b appartient forcement à N (....) puisque a et b (...) non nuls

Moi je traduis par : |a] et |b| $\in \mathbb{N^*}$, ce qui n'est pas du tout la même chose... (*)
Cela dit, ta solution me plaît bien : je n'y avais pas pensé...

[EDIT2]
@freddy
Maintenant je vois que dans son post #6, il a écrit

pour la 1 j'ai juste dit que a et b appartiennent a Z donc que leur valeur absolue appartient à 'donc valeur absolue de a^2-2b^2 est forcément supérieure ou égal à 0 puis j' ai démontre par l'absurde que cela pouvait pas être égal 0 car cela voudrait dire que racine de 2 pourrait s'écrire sous la forme a/b

J'ai juste dit que...
C'est une interprétation très libre du post #1 :

J'ai donc fait la 1 en disant que valeur absolue de a et b appartient forcement à N puis que cela peut pas etre égal à 0 car racine de 2 peut pas s'écrire sous la forme a/b car c'est un irrationnel.

Quand j'ai lu : "j'ai juste dit que" je n'ai pas lu la suite croyant de bonne foi (j'ai juste dit que) qu'il répétait ce qu'il avait déjà écrit, et ça m'avait un peu "agacé", d'où ma réaction du post #8 ...
Maintenant, je vois que sa 2e version n'a plus rien à voir avec la première, et que oui, elle contenait les prémices de ta démo...

Dernière modification par yoshi (29-12-2019 11:02:21)

72Messo10 · 29-12-2019 10:58:16

Merci pour vos multiples réponses Loshi je t'avoue que pour la question 2 je suis un peu perdu et je ne vois plus exactement où tu en est puisque qu'il y a 2 trucs à démontrer, ensuite pour la question 3 je pense qu'il fallait essayer de l'encadre entre les deux entiers qui le précédent et le suivent.
Enfin la question 4 est la plus dur car je ne vois pas comment démontrer sans exprimer
Merci

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 28-12-2019 11:36:01