Distance de hausdorff

Kcg · 26-12-2019 15:10:33

Salut !! J'ai un exercice là où je bloque depuis, besoin d'aide svp :
Soit $(E,d)$ un espace métrique. On note $F$ l'ensemble des parties fermées et bornées de E. Pour $ A $ et $B$ éléments de $F$ , on pose
$$∆(A,B) = sup(sup_{x€A} d(x,B); sup_{y€B}d(y,A))$$
1) montrer que $∆(A,B)$ est une distance sur $F$
2) pour tout $n€N^{*}$, on note $F_{n}$ l'ensemble des éléments de $F$ qui contiennent au moins n éléments de E. Pour tout $n€N^{*}$ montrer que $F_{n}$
Est un ouvert de $F$
3) on suppose E compact. Montrer qu'une suite de cauchy $(Y_{n})$ de $(F,∆)$ telle que $Y_{n+1}€Y_{n}$ pour tout n ,converge vers $Y$ qui est l'intersection des $F_{n}$. En déduire que $(F,∆)$ est complet.
4)si $E$ est compact , montrer que $F$ est compact ( on pourra montrer qu'il est precompact)

Pour le 1) j'ai réussir à montrer que c'est une distance où le cas le plus difficile était l'inégalité triangulaire. Je suis parti du fait que $d(x,C)≤d(x,y)+d(y,C$ .
2) ici voici ce que j'ai tenté
Soit $n€N^{*}$ , soit $X€F_{n}$ cherchons $r>0$ tel que $B_{∆}(X,r)€F_{n}$
Comme $X€F_{n}$ c'est un fermé et borné de E ayant au moins $n$ éléments.
X borné entraine que il existe $x€E$,$r > 0$ tel que X inclu dans $B(x,r)$ .
À partir de là je bloque, même pour les questions suivantes.
J'attends votre aide, merci.

Maenwe · 26-12-2019 17:38:55

Bonjour,
Voilà un exercice plutôt intéressant !
En raisonnant par l'absurde tu peux y arriver ;)
Une petite indication en plus :
Exploite le fait qu'un inf pour un ensemble fini de valeur est en fait un min.

Kcg · 26-12-2019 18:11:34

Salut. J'ai essayé l'absurde mais je coince toujours.
Pouvez vous être plus explicite ?

Maenwe · 26-12-2019 18:22:17

En raisonnant par l'absurde tu as :
Pour tout $k \geq 1$, il existe $B_{k} \in F$ tel que $\Delta(X,B_{k}) < \frac{1}{k}$ et $\# B_{k} \leq n-1$.
Donc pour tout $x \in X$ $d(x,B_{k}) < \frac{1}{k}$.
Or $B_{k}$ est fini donc pour tout $x \in X$ il existe $b_{k}(x) \in B_{k}$ tel que $d(x,b_{k}(x)) \leq \frac{1}{k}$.
Et après tu utilises le fait que $E$ est séparé.
Est ce que tu y vois un peu plus clair ?

Dernière modification par Maenwe (26-12-2019 18:24:59)

Kcg · 26-12-2019 21:51:21

Je vois l'idée. Le fait que E est séparé nous dit qu'il existe $r>0$ et $r_{1}>0$ tel que $B(x,r) inter B(b_{k},r_{1})=ensemble vide$
Il pourrait y avoir contradiction si à ce niveau k variait, mais l'existence de r et $r_{1}$ sont donnés pour un k fixé.
Donc je ne peux toujours pas conclure

Maenwe · 26-12-2019 23:34:29

Oui tu ne peux pas conclure mais seulement parce que tu n'appliques pas le fait que l'espace est séparé au bon ensemble...
Au passage en LaTex on écrit \in pour le symbole $\in$, et \emptyset pour le symbole $\emptyset$, et si tu veux trouver un symbole LaTex que tu ne connais pas il suffit de chercher sur internet, une recherche rapide permet souvent de trouver ;)

Zebulor · 26-12-2019 23:50:48

Bonsoir,
ou par ce lien donné dans ce site :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

Kcg · 27-12-2019 07:51:43

Vraiment merci pour ton aide Maenwe, mais désolé je suis toujours largué.

Kcg · 27-12-2019 08:02:52

J'ai application le fait que $(F ,\triangle )$ soit séparé en ces termes. Pour $X \in F_{n}$ et $B_{k} \in F$ il existe $r_{1}>0$ et $r_{2}>0$ tel que $B(X,r_{1}) \cap B(B_{k}, r_{2}) = \varnothing$ , jai essayer d'exploiter ça depuis je n'arrive à rien.

Kcg · 27-12-2019 09:04:28

J'ai encore réfléchi et voici ce que j'ai pû faire avec tes indications. J'aimerais savoir si c'est correct.
Supposons que $F_{n}$ n'est pas ouvert. Alors
$$ \exists X \in F_{n} , \forall r_{k}>0 , B(X,r_{k}) \nsubseteq F_{n}$$
le $$ \exists X \in F_{n}, \forall r_{k}>0 ,\exists B_{k} \in B(X, r_{k}) et B_{k} \notin F_{n} $$
ie $ \triangle (X, B_{k})<r_{k} ,\#B_{k}≤n-1$
ie $ \forall x_{i} \in X, d(x_{i}, B_{k})<r_{k}$
Comme $B_{k}$ est fini $ \exists b_{k}(x_{i}) \in B_{k} , d(x_{i}, b_{k}(x_{i})<r_{k}$
On a finalement :$ \exists X \in F_{n} , \forall r_{k}>0, \forall x_{i} \in X ,\exists b_{k}(x_{i}) \in B_{k},tel que d(x_{i}, b_{k}(x_{i}))< r_{k} $
On déduit que $x_{i}$ est un point adhérents de $B_{k}$. Comme $B_{k} $ est fermé , alors $x_{i} \in B_{k} ,\forall i \in \{1,...,n-1, n,...\}$ absurde car $\#B_{k}≤n-1$
Es-ce correct ?

Kcg · 27-12-2019 09:07:30

Oups , une partie du post à été coupé .
C'est tel que $$d(x_{i}, b_{k}(x_{i}))<r_{k}$$

Kcg · 27-12-2019 09:21:11

Zebulor a écrit :

Bonsoir,
ou par ce lien donné dans ce site :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

Et merci pour ce lien Zebulor , il m'a été bien utile.

Maenwe · 27-12-2019 09:37:59

Bonjour,
Oui c'est ça ! Ce n'est pas la résolution à laquelle je pensais mais ce que tu as fait fonctionne parfaitement !
Ce que je pensais faire c'est dire que puisque $E$ est séparé, il existe $r > 0$ tel que pour tout $i \not = j \in [\![1,n]\!]$, $x_{j} \not \in B_{\Delta}(x_{i},r)$.

Dernière modification par Maenwe (27-12-2019 09:40:57)

Zebulor · 27-12-2019 09:53:42

Bonjour,
@ Kcg : tu as aussi une discussion épinglée dans collège lycée sur les formules Latex.
Bonne journée.

yoshi · 27-12-2019 09:59:42

Re,

Plus simple.
En bas à gauche, au dessous du cadre de rédaction des messages, ce lien : Code Latex

@+

Kcg · 27-12-2019 16:42:08

Bonsoir . Merci pour les liens latex .

@Maenwe ,stp tu peux rédiger ton idée ?? , ça m'intéresse de savoir .

Kcg · 27-12-2019 16:47:48

Pour mon idée, je me rends compte d'une erreur.
Le fait est que $B_{k}$ varie lorsque $r_{k}$ donc à chaque $r_{k}$ correspond un $B_{k}$ donc la définition de l'adhérence ne tient plus, puisque l'ensemble concerné varie .
Cet exercice me coince depuis deux jours, si tu pouvais rédiger ton idée ,se serait mieux.
Merci d'avance .

Dernière modification par Kcg (27-12-2019 16:54:45)

Maenwe · 27-12-2019 19:47:07

Bonsoir,
Effectivement, au temps pour moi ! Il y a bien une erreur, je suis allé un peu vite dans la lecture.
Donc tu es d'accord que l'on peut trouver un rayon $r>0$ vérifiant ce que j'ai écrit dans mon post #13 ?
Sinon dis moi et je développerai, si oui, voici la suite :
Soit $B \in F $ tel que $\Delta (B,X)<r $.
Donc pour tout $x \in X $ il existe $b (x) \in B $ tel que $d (x,b (x)) <r $.
Étant donné que les $B (x,r) $ sont disjointes, B possède nécessairement au moins n éléments, ce qui est absurde. (Et je viens de m'apercevoir que l'on peut aussi faire sans raisonnement par l'absurde de manière similaire)

Kcg · 28-12-2019 08:00:12

Bonjour.et Merci pour tout.

Kcg · 28-12-2019 08:34:54

Maenwe a écrit :

Bonjour,
Oui c'est ça ! Ce n'est pas la résolution à laquelle je pensais mais ce que tu as fait fonctionne parfaitement !
Ce que je pensais faire c'est dire que puisque $E$ est séparé, il existe $r > 0$ tel que pour tout $i \not = j \in [\![1,n]\!]$, $x_{j} \not \in B_{\Delta}(x_{i},r)$.

Ici , du fait que E soit séparé le r>0 dépend de $x_{i}$ et $x_{j}$ et toi tu dis qu'on peut trouver un rayon qui ne dépend pas de ces derniers ? Là je ne comprends pas, même si les i et j sont fini.
Mais si tu prouve celà, la suite est clair.

Maenwe · 28-12-2019 17:12:18

Je vais plutôt démontrer un truc plus fort dans ce post (d'ailleurs le delta est une erreur sous le B) :
Soit $x_{1},... , x_{n} $ n éléments distincts de $X $.
Puisque $E $ est séparé pour tout $i \not = j \in [\!1,n]\!] $ il existe $r_{i,j} >0$ tel que $B (x_{i},r_{i,j}) \cap B (x_{j},r_{i,j}) = \emptyset $.
Soit $r=min\;r_{i,j} $.
On a alors pour tout $i \not = j \in [\![1,n]\!] $ $B (x_{i},r) \cap B (x_{j},r) = \emptyset $

Dernière modification par Maenwe (29-12-2019 09:37:02)

Kcg · 29-12-2019 07:28:53

Maenwe a écrit :

Je vais plutôt démontrer un truc plus fort dans ce post (d'ailleurs le delta est une erreur sous le B) :
Soit $x_{1},... , x_{n} $ n éléments distincts de $X $.
Puisque $X $ est séparé pour tout $i \not = j \in [\!1,n]\!] $ il existe $r_{i,j} >0$ tel que $B (x_{i},r_{i,j}) \cap B (x_{j},r_{i,j}) = \emptyset $.
Soit $r=min\;r_{i,j} $.
On a alors pour tout $i \not = j \in [\![1,n]\!] $ $B (x_{i},r) \cap B (x_{j},r) = \emptyset $

C'est clair. Vraiment merci pour tout.

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