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Topoguy

Invité

démonstration atan2

Bonjour,

Je suis en BTS Topographie et aussi très curieux.

Ma question est simple : comment démontrer Atan2.

   [tex]atan2(y,x)=2arctan\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+1}  [/tex]

Je connais la démonstration de la formule de la tangente de l'arc moitié, et j'ai tenté ceci:

[tex]2arctan\frac{y}{x}=arctan\frac{2\frac{y}{x}}{1-(\frac{y}{x})^2} [/tex]

tout en me rendant compte que ça n'aide pas beaucoup.

Jusqu'ici je me débrouillais toujours pour déterminer la valeur de l'angle par mes propres moyens en "deux temps", d'abord arctan puis déduire du signe de x et y le quartier du cercle trigonométrique dans lequel l'angle formé se situait et opérer les changements sur le résultat de la fonction arctan.

Puis récemment on nous a introduit une formule permettant de lever "l'ambiguité" sur les gisements en calcul topométrique, et ce sans aucune démonstration. J'ai conscience de ne pas avoir forcément tous les outils pour une pleine compréhension de certaines démonstrations mais je n'aime pas admettre, ce qui est trop souvent le cas dans mes cours.

J'ai utilisé la dénomination atan2, que j'ai trouvé après quelques recherches sur internet, j'ai compris son fonctionnement à deux arguments   et comment elle les utilisent (wikipédia c'était pas compliqué et très clair) mais je ne parvient pas dénicher la jolie démo.

Merci par avance.

Topoguy

Invité

Re : démonstration atan2

et ce n'est pas +1 mais +x au dénominateur dans 2arctan..

axelml

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Re : démonstration atan2

Bonsoir J'ai trouvé une démonstration trigonométrique qui me semble assez élégante

Soit le point M d'affixe complexe (x+iy) dont on cherche l'argument en mesure principale, noté atan2(y;x) = alpha.
On cherche à démontrer que :
                         atan2(y;x) = 2 artan ( y/(rac(x²+y²)+x ) )

1) On commence d'abord par supposer : x²+y² = r² = 1 ; c'est à dire qu'on place le point M sur le cercle trigonométrique
On projette M en H sur l'axe des x et on note A'(-1) (faire la figure !)
Soit a = atan2(y;x). Il s'agit de montrer que tan (a/2) = y/(1+x) = y/(x - (-1)) = HM / A'H
Soit b = l'angle orienté de vecteurs (A'O ; A'M)
Puisque OMA' est isocèle, b = OMA'
et puisque les 3 angles de OMA' totalisent pi radian, et par soustraction : HOM = pi - (pi - 2b) = 2b
Or HOM = a, d'où le résultat.
Finalement, on a eu besoin, après avoir posé le problème, de la somme des angles d'un triangle et d'un triangle isocèle aux 2 angles de base égaux...

2) On suppose maintenant :  x²+y² = r² != 0 ; c'est à dire qu'on place le point M partout sauf à l'origine
La fraction est homogène en x et y qui se divisent facilement par r, et le tour est joué. cqfd. AXEL ML
(heureusement en passant que tu as rectifié le +1 en +x...)

Dernière modification par axelml (25-12-2019 22:59:49)

Maenwe

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Re : démonstration atan2

Bonsoir,
Donc si j'ai bien compris tu veux démontrer cette formule en utilisant la formule de la tangente de l'arc moitié, c'est bien ça ?
Si c'est ça :
Et pourtant tu y es presque ! Remplace le $x$ de ta deuxième expression (celle juste après "et j'ai tenté ceci") par $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x$ ;)
Et si tu as trouvé tout seul cette deuxième expression, bravo, c'est pas si simple à voir !

Topoguy

Invité

Re : démonstration atan2

Merci pour vos réponses, j'ai du tracer dans chaques situations avec les 4 quartiers du cercle trigo pour visualiser le tout. Pour Maenwe, remplacer x par ce que tu écris m'oriente sur la formule, mais j'avais besoin de comprendre pourquoi. J'essaie de manipuler au max les fonctions trigo et de démontrer le moindre détail parceque dans mon cas rien n'est démontrer, ni les dérivations ni les égalités.
Merci pour l'aide.

LCTD

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Re : démonstration atan2

Bonjour,

Voici une autre manière ( si mes calculs sont bons):

$tan(\frac{\theta}{2})=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$

on a $x=r\cos\theta$, $y=\sin\theta$ et $r=\sqrt{(x^2+y^2)}$, donc :

$tan(\frac{\theta}{2})=\frac {\frac{y}{r}}{1+\frac{x}{r}}=\frac{y}{r+x}=\frac{y}{\sqrt{(x^2+y^2)}+x}$

$arctan(tan(\frac{\theta}{2}))=\frac{atan2(x,y)}{2}=\frac{y}{\sqrt{(x^2+y^2)}+x}$

Topoguy

Invité

Re : démonstration atan2

Super, toutes vos réponses se complètent et se recroisent dans mon esprit maintenant. C'est pas sans effort mais j'ai redémontré le tout.
Il me semble qu'il manque un arctan devant la toute dernière fraction du post précédent.
Encore merci.

LCTD

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Re : démonstration atan2

Bonjour,

@Topoguy, exacte il manque arctan et aussi le r dans $y=r\sin\theta$