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WThomas

Invité

Intersection de sous-groupes

Bonjour,

Si G est un groupe non réduit à l'élément neutre et que l'ensemble formé par l'intersection de tous ses sous-groupes n'est pas réduit à l'élément neutre, que peut-on dire sur le groupe G ? J'aimerais trouver que ce groupe est monogène.

Une petite indication me serait de grande aide.

Fred

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Re : Intersection de sous-groupes

Bonjour,

Est-ce qu'on ne peut même pas dire un peu plus???
* le groupe ne peut pas contenir un élément d'ordre infini (sinon il contiendrait un sous-groupe isomorphe à Z, dont l'intersection des sous-groupes est {0}).
* le groupe ne peut pas contenir un élément d'ordre un entier qui n'est pas premier
* le groupe ne peut pas contenir deux éléments $x$ et $y$ d'ordre premier tel que $x$ n'appartient pas au sous-groupe engendré par $y$, et $y$ n'appartient pas au sous-groupe engendré par $x$.

Est-ce que cela fonctionne????

F.

Maenwe

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Re : Intersection de sous-groupes

Bonjour,
@WThomas : une petite précision je pense que tu voulais marquer "l'intersection de tous les sous-groupe non réduit à l'élément neutre en non réduit à l'élément neutre", car sinon étant donné que pour tout groupe, l'intersection de tout les sous-groupe est forcément réduit à l'élément neutre puisque l'ensemble réduit à l'élément neutre est un sous-groupe. Enfin vu que la prémisse est forcément fausse l’implication énoncé elle est par contre forcément vrai.
Par contre si on enlève ce sous-groupe, l'implication n'est pas si simple !

@Fred, pourquoi est-ce que le groupe ne contient que des éléments d'ordre premier ? (ça serait très pratique pour résoudre l'exercice si on savait ça) Mais je ne vois pas en quoi c'est vrai et surtout que si on prend $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ tous les sous-groupes contiennent la classe de $4$ et pourtant tous les éléments de ce groupe ne sont pas d'ordre premier.

NB : Je viens de m’apercevoir que tu parles peut-être du sous-groupe qui est l'intersection que tous les sous-groupes non réduit à l'élément neutre ? Dans ce cas je suis d'accord avec ce qui est écrit.

Dernière modification par Maenwe (23-12-2019 11:25:33)

WThomas

Invité

Re : Intersection de sous-groupes

@Fred le but de l'exercice est de montrer que ce groupe ne comporte pas d'élément d'ordre infini, je ne vais donc pas utiliser votre 1ère proposition. Quant aux deux autres, je ne suis pas sûr de bien comprendre pourquoi elles sont vraies.. serait-il possible d'avoir une petite démonstration ?

@Maenwe En résumé, ce groupe possède un élément, qui n'est pas l'élément neutre, et qui appartient à tous ses sous-groupes sans compter le sous-groupe trivial composé uniquement de l'élément neutre.

Je pense qu'il y a un rapport avec la définition du sous-groupe engendré par une partie (c'est l'intersection de tous les sous-groupes contenant cette partie) et le fait que le groupe G entier est compté comme sous-groupe dans cette intersection.

Merci beaucoup pour votre aide.

Fred

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Re : Intersection de sous-groupes

Bonjour,

  Maenwe a raison de me faire remarquer que ce que j'ai dit un peu vite concernant l'ordre nécessairement premier des éléments est faux...

Concernant ma première proposition, je pense que j'ai donné une idée de preuve : si ton groupe contient un groupe d'ordre infini, notons le $g$, alors le sous-groupe $H$ engendré par $g$ est isomorphe à $\mathbb Z$. Il suffit donc de démontrer que l'intersection de tous les sous-groupes de $\mathbb Z$ est $\{0\}$, ou encore que si je considère $n\in\mathbb Z$ non nul, il y a un sous-groupe de $\mathbb Z$ qui ne contient pas $n$.

F.

WThomas

Invité

Re : Intersection de sous-groupes

@Fred oui pour cette proposition c'est clair, le seul problème est que l'exercice que je traite a pour but de démontrer qu'aucun élément de G n'est d'ordre infini, je préfère donc éviter d'utiliser ça

Maenwe

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Re : Intersection de sous-groupes

Bonsoir,

Pourquoi donc ? Tu n'aimes pas les raisonnement par l'absurde ?

Quant à ta question initiale, j'ai eu des gros doutes au départ de la véracité de cette proposition, je suis donc partit en quête d'un contre exemple, mais il s'avère que l'on ne peut trouver un contre-exemple qu'avec des groupes non abéliens (si le groupe est abélien je sais comment faire pour aboutir).
Donc :
Si tu veux montrer que cette proposition est vrai une première étape est de montrer qu'il est abélien. Et un moyen de montrer que cette proposition est fausse est de trouver un groupe non abélien vérifiant cette propriété, seulement je n'en ai pas trouvé et qui plus est les groupes non-abéliens ne sont pas si faciles à manipuler...
Ah, et à priori si cette proposition est vrai, on peut essayer de montrer que $G$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/p^{n} \mathbb{Z}$ avec $n$ un entier naturel et $p$ un nombre premier.
Et de plus les éléments de $G$ (ceci est une conséquence de l'hypothèse de départ) sont d'ordre $q^{r}$ avec $q$ un nombre premier et $r$ un entier naturel, maintenant peut-on en déduire que $G$ est abélien ?

Dernière modification par Maenwe (23-12-2019 23:00:27)