Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Kahina

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limite de sin(x)/x quand x tend vers quelque chose d'autre que 0

Bonsoir à tous !

                                      sin(x)
Nous savons tous que lim ------ est égale à 1, ceci étant je m'interrogeais sur cette limite quand x tend, par exemple, vers 1.
                             x->0     x

cela peut paraitre stupide, voire trivial, mais par exemple dans l'étude d'un prolongement par continuité,
est ce que l'on a :

            sin (x-1)                      sin (x)
lim      -----------   =    lim       ---------  = 1
x->1+       x-1            x->0+       x

est ce qu'il suffit de 'soustraire' 1 partout ?

merci d'avance !

K

Fred

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Re : limite de sin(x)/x quand x tend vers quelque chose d'autre que 0

[edit : j’ai mal lu la question et dit n’importe quoi].

Maenwe

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Re : limite de sin(x)/x quand x tend vers quelque chose d'autre que 0

Bonsoir,
J'ai des doutes sur cette réponse, ça ne ressemble pas vraiment à un taux de variation, si ? La fatigue me joue peut-être des tours après tout...
Mais pour moi on a $\lim\limits_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1$ et $\lim \limits_{x \to 1} x-1 = 0$, donc par composition de limites :
$\lim \limits_{x \to 1} \frac{sin(x-1)}{x-1} = 1$.

Zebulor

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Re : limite de sin(x)/x quand x tend vers quelque chose d'autre que 0

Bonjour,
Sinon par changement de variables en posant $y=x+1$, $\frac{sin(x)}{x}=\frac{sin(y-1)}{y-1}$. Quand $ {x \to 0^{+}} , {y \to 1^{+}}$...Et il vient :
$\lim \limits_{y \to 1^{+}} \frac{sin(y-1)}{y-1} = 1$
c est pas ça ?

Dernière modification par Zebulor (23-12-2019 07:57:46)

Maenwe

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Re : limite de sin(x)/x quand x tend vers quelque chose d'autre que 0

Bonjour @Zebulor,
si c'est ça ! Mais en fait le changement de variable fonctionne à cause du théorème de composition de limites en fait.

Zebulor

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Re : limite de sin(x)/x quand x tend vers quelque chose d'autre que 0

Bonjour @Maewenn,
Ok en effet. En posant $f(x)=x-1$ et $g(x)=\frac {sin(x)}{x}$

Kahina

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Re : limite de sin(x)/x quand x tend vers quelque chose d'autre que 0

Oh d'accord merci a tous !!
c'est beaucoup plus clair !!
bonnes fêtes ! ^^