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Koupka

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Nombre complexe - Transformation de Cayley - exercice 4

Bonjour à tous,

Je m'interroge au sujet de l'exercice 4 de cette fiche d'exercice : http://www.bibmath.net/ressources/index … &type=fexo

Comment peut on trouver, en factorisant $\frac{e^{{iθ}}+e^{iθ′}}{1+e^{i(θ+θ′)}}$ par $e^{i\frac{θ+θ′}{2}}$ au numérateur et au dénominateur l'expression suivante : [tex]\frac{e^{i(\frac{θ−θ'}{2}}+e^{-i\frac{θ−θ'}{2}}}{e^{i\frac{θ+θ′}{2}}+e^{-i\frac{θ+θ′}{2}}}[/tex] ?
Ne devrait on pas d'abord trouver : $\frac{e^{i\frac{3θ+θ'}{2}}+e^{i\frac{θ+3θ'}{2}}}{e^{i\frac{θ+θ′}{2}}+e^{-i\frac{3θ+3θ′}{2}}}$ ?
Et dans ce cas là, comment passe-t-on de $e^{i\frac{3θ+θ'}{2}}$ à $e^{i\frac{θ−θ'}{2}}$ ? De même pour de $e^{i\frac{θ+3θ'}{2}}$ à $e^{-i\frac{θ−θ'}{2}}$ ainsi que de $e^{i\frac{3θ+3θ′}{2}}$ à $e^{-i\frac{θ+θ'}{2}}$ ?
Je conçois qu'on cherche à avoir une expression de la forme e(i α) + e(- i α) afin d'appliquer les formules d'Euler et ainsi résoudre l'exercice, mais cette factorisation me pose problème.

Merci pour vos futures réponses, bonne journée.

Dernière modification par Koupka (23-11-2019 18:33:00)

Zebulor

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Re : Nombre complexe - Transformation de Cayley - exercice 4

Bonjour,
pour le numérateur en distribuant par  $e^{i\frac{θ+θ′}{2}}$ :
$e^{i\frac{θ+θ′}{2}}*e^{i\frac{θ-θ′}{2}}=e^{i\frac{θ+θ′+θ-θ′}{2}}=e^{i\frac{2θ}{2}}=e^{iθ}$  et  $e^{i\frac{θ+θ′}{2}}*e^{-i\frac{θ-θ'}{2}}=e^{iθ'}$ sur le même modèle.

et pour le dénominateur toujours en distribuant par $e^{i\frac{θ+θ′}{2}}$ :
$e^{+i\frac{θ+θ′}{2}}*e^{-i\frac{θ+θ′}{2}}=e^{+i\frac{θ+θ′-θ-θ′}{2}}=e^{i0}=1$, (attention aux signes dans l'avant  dernière exp), d'où ce 1 que tu retrouves au dénominateur, et $e^{+i\frac{θ+θ′}{2}}*e^{+i\frac{θ+θ′}{2}}=e^{+i\frac{θ+θ′+θ+θ′}{2}}=e^{+i\frac{2θ+2θ′}{2}}=e^{+i(θ+θ′)}$

C'est une simple factorisation au numérateur et au dénominateur. Cette méthode consistant à passer par l'angle moitié est classique.

$e^{i(a+b)}=e^{ia}*e^{ib}$ pour tous $a,b$ réels ou mêmes complexes.

J'essaie de comprendre en vain ce que tu as trouvé...

Dernière modification par Zebulor (23-11-2019 16:54:06)

Koupka

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Re : Nombre complexe - Transformation de Cayley - exercice 4

Bonjour,
pour le numérateur en distribuant par  $e^{i\frac{θ+θ′}{2}}$ :
$e^{i\frac{θ+θ′}{2}}*e^{i\frac{θ-θ′}{2}}=e^{i\frac{θ+θ′+θ-θ′}{2}}=e^{i\frac{2θ}{2}}=e^{iθ}$  et  $e^{i\frac{θ+θ′}{2}}*e^{-i\frac{θ-θ'}{2}}=e^{iθ'}$ sur le même modèle.

et pour le dénominateur toujours en distribuant par $e^{i\frac{θ+θ′}{2}}$ :
$e^{+i\frac{θ+θ′}{2}}*e^{-i\frac{θ+θ′}{2}}=e^{+i\frac{θ+θ′-θ-θ′}{2}}=e^{i0}=1$, (attention aux signes dans l'avant  dernière exp), d'où ce 1 que tu retrouves au dénominateur, et $e^{+i\frac{θ+θ′}{2}}*e^{+i\frac{θ+θ′}{2}}=e^{+i\frac{θ+θ′+θ+θ′}{2}}=e^{+i\frac{2θ+2θ′}{2}}=e^{+i(θ+θ′)}$

C'est une simple factorisation au numérateur et au dénominateur. Cette méthode consistant à passer par l'angle moitié est classique.

$e^{i(a+b)}=e^{ia}*e^{ib}$ pour tous $a,b$ réels ou mêmes complexes.

J'essaie de comprendre en vain ce que tu as trouvé...

Je suis confus, je viens de me rendre compte de mon erreur. Je n'avais pas cherché à factoriser au dénominateur et au numérateur par $e^{i\frac{θ+θ′}{2}}$ mais simplement à multiplier au numérateur et au dénominateur par $e^{i\frac{θ+θ′}{2}}$ , évidemment je ne tombais pas sur ce que je voulais.
Je vous remercie beaucoup. Bonne soirée.
(Je m'interroge également, était il possible de trouver cette factorisation sans indication ?)

Zebulor

Membre expert

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Re : Nombre complexe - Transformation de Cayley - exercice 4

Re,
@Koupka : rien de grave... c est pas mortel.

(Je m'interroge également, était il possible de trouver cette factorisation sans indication ?)

Question très intéressante. Ma réponse vaut ce qu'elle vaut :

Analytiquement : l'expression $1+e^{iθ}$ cache en fait une factorisation possible : c'est $e^{i\frac{θ}{2}}e^{-i\frac{θ}{2}}+e^{i\frac{θ}{2}}e^{i\frac{θ}{2}}=e^{i\frac{θ}{2}}(e^{-i\frac{θ}{2}}+e^{i\frac{θ}{2}})$.
Géométriquement c'est moins abstrait : On peut faire une construction avec 0<2θ<$\frac{\pi}{2}$ pour fixer les idées.
Le point M est l'image du nombre complexe $1+e^{iθ}$ . O  est l'origine du repère orthonormé, et A le point (1,0), de sorte à tracer un triangle isocèle OAM en A. L’angle (Ox,OM) vaut θ/2 (soit l argument du nombre complexe $1+e^{iθ}$) et (Ox,AM) vaut θ soit l’argument de $e^{iθ}$.
Le module de $1+e^{iθ}$ peut se retrouver en remarquant que le triangle OAM isocèle en A est la juxtaposition de deux triangles rectangles, pour lesquels le théorème de Pythagore s'applique et on trouve |2cos(θ/2)| = OM. (à prendre en valeur absolue )

Et quant au numérateur, géométriquement c est le même raisonnement avec encore un triangle isocèle.
La somme de deux nombres complexes de même module $\rho$ est factorisable par un nombre complexe de module $\rho$ et d'argument la moyenne de leurs arguments. Le nombre 1 est en fait le nombre complexe $e^{i0}$.

Physiquement on peut voir la somme de deux nombres complexes comme la somme de 2 forces extérieures de même intensité et de directions différentes subies par un solide- somme équivalente à une seule force globale-

Allez j'arrête là :-)

Par contre je ne connais rien de la transformation de Cayley ...

Dernière modification par Zebulor (24-11-2019 14:42:43)