Forum de mathématiques - Bibm@th.net

delveraria

Membre

Inscription : 05-07-2019

Messages : 8

Construction de réels à l'aide de séries (Oral)

Bonjour,

Je voudrais déterminer l'ensemble [tex]I[/tex] des réels [tex]x[/tex] pour lesquels il existe une suite [tex](\varepsilon_{n})_{n\in\mathbb{N}}\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}[/tex] telle que [tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon_{n}}{n^{2}}=x[/tex] .

Je cherche à montrer que [tex]I=[0,\frac{\pi^{2}}{6}-1]\cup[1,\frac{\pi^{2}}{6}][/tex].

Pour cela je me suis donné [tex]x[/tex] un réel et j'ai supposé qu'il était inférieur à 1 strictement. On a alors [tex]\varepsilon_{1}=0[/tex] et
[tex]x=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\varepsilon_{n}}{n^{2}}≤\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}(\approx0,64)[/tex]
On ne peut donc pas atteindre tous les réels entre 0,65 et 1.

Cependant, je ne parviens pas à montrer que cela n'arrive que dans ce cas, ce qui revient à montrer que : [tex]\forall n\in\mathbb{N}\backslash\{0,1\},R_{n}≥\frac{1}{n^{2}}[/tex] où [tex]\forall n\in\mathbb{N}^{*},R_{n}=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}[/tex].

Merci.

Dernière modification par delveraria (22-11-2019 18:52:59)

Maenwe

Membre confirmé

Inscription : 06-09-2019

Messages : 409

Re : Construction de réels à l'aide de séries (Oral)

Bonsoir,

Je ne suis pas vraiment sûr de pourquoi c'est équivalent à ça (sûrement une histoire de convergence, mais je ne vois pas le rapport pour l'instant), quoi qu'il en soit cette inégalité : $R_{n} > \frac{1}{n^{2}}$ est effectivement vraie :
Il suffit d'étudier la monotonie de cette suite : $u_{n} = R_{n} - \frac{1}{n^{2}}$.
Peux tu m'expliquer pourquoi ce problème revient à montrer cette inégalité ? (c'est juste par curiosité ;) )

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 225

Re : Construction de réels à l'aide de séries (Oral)

Bonsoir
Ça semble intéressant...

Cependant, je ne parviens pas à montrer que cela n'arrive que dans ce cas.

@delvevaria : je ne comprends pas bien le « cas » dont tu parles..
Parce que [tex]\varepsilon_{1}=1[/tex] entraîne nécessairement [tex]x \ge 1[/tex]

Dernière modification par Zebulor (22-11-2019 18:46:14)

delveraria

Membre

Inscription : 05-07-2019

Messages : 8

Re : Construction de réels à l'aide de séries (Oral)

Peux tu m'expliquer pourquoi ce problème revient à montrer cette inégalité ? (c'est juste par curiosité ;) )

Bonsoir,
Merci pour la réponse @Maenwe.
En ce qui concerne l'équivalence, je généralise la petite analyse faite pour [tex]x<1[/tex].
Soit [tex]k\in\mathbb{N}^{*}[/tex], je suppose [tex]x<\frac{1}{k^{2}}[/tex].
Alors, si [tex]x[/tex] vérifie la propriété (i.e : il existe [tex](\varepsilon_{n})_{n\in\mathbb{N}}\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}[/tex] telle que [tex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\varepsilon_{n}}{n^{2}}=x[/tex]), les [tex]k[/tex] premiers termes de la suite [tex](\varepsilon_{n})_{n\in\mathbb{N}}[/tex] en question sont nuls.
Ainsi :
[tex]x=\sum_{n=k+1}^{+\infty}\frac{\varepsilon_{n}}{n^{2}}[/tex]
D'où :
[tex]x≤\sum_{n=k+1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}}[/tex]
c'est-à-dire : [tex]x≤R_{k}[/tex], avec [tex]R_{k}[/tex] le reste à l'ordre [tex]k[/tex] de la série [tex]\sum\frac{1}{n^{2}}[/tex].

Ainsi, les éléments de [tex][0,\frac{1}{k^{2}}[[/tex] sont tous "atteignables" si et seulement si [tex]R_{k}≥\frac{1}{k^{2}}[/tex] (effectivement l'inégalité n'était peut-être pas stricte).

@Zebulor le cas que j'évoque est celui où [tex]k=1[/tex], dans ce cas l'inégalité ci-dessus n'est pas vérifiée et certains réels de [tex][0,1][/tex] ne peuvent pas être atteints, mais ma conjecture était que pour tous les autres entiers cela fonctionnait. Merci encore pour l'aide.

Dernière modification par delveraria (22-11-2019 18:58:34)

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 225

Re : Construction de réels à l'aide de séries (Oral)

Re,

Ainsi, les éléments de [tex][0,\frac{1}{k^{2}}[[/tex] sont tous "atteignables" si et seulement si [tex]R_{k}≥\frac{1}{k^{2}}[/tex] (effectivement l'inégalité n'était peut-être pas stricte).

Je t en prie. Merci pour ta précision.
Je suis peut être fatigué mais en suivant ton raisonnement sur lequel je suis d’accord pour une bonne partie, je ne comprends pas commment tu parviens à cette conclusion en citation

Dernière modification par Zebulor (22-11-2019 19:26:20)

Maenwe

Membre confirmé

Inscription : 06-09-2019

Messages : 409

Re : Construction de réels à l'aide de séries (Oral)

Bonsoir,

@Zebulor, ceci :

[tex]x=\sum_{n=k+1}^{+\infty}\frac{\varepsilon_{n}}{n^{2}}[/tex]
D'où :
[tex]x≤\sum_{n=k+1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}}[/tex]
c'est-à-dire : [tex]x≤R_{k}[/tex], avec [tex]R_{k}[/tex] le reste à l'ordre [tex]k[/tex] de la série [tex]\sum\frac{1}{n^{2}}[/tex].

vient du fait que puis que $\epsilon_{n} \leq 1$ on a nécessairement que $\sum_{n=k+1}^{+\infty}\frac{\varepsilon_{n}}{n^{2}} \leq \sum_{n=k+1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}}$, et après on a par définition du reste l'inégalité sur laquelle tu te posais la question de la véracité ;)

@delveraria, j'ai regardé le code que tu as utilisé pour latex, tu n'es pas obligé(e) d'utiliser les balises $[tex]$, il te suffit simplement de mettre [tex]$[/tex] de chaque côté de ton code ;)
Quant à ton raisonnement je suis d'accord avec le déroulement des arguments mais pas avec ta conclusion, avec ton raisonnement tu as simplement montré que si $x < \frac{1}{k^{2}}$ et $x = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\varepsilon_{n}}{n^{2}}$ alors $x < R_{k}$ (le raisonnement que je t'ai donné donne bien une inégalité stricte, pour $n>1$ car pour $n=1$ l'inégalité large n'est même pas vérifiée !).

Dernière modification par Maenwe (22-11-2019 19:37:46)

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 225

Re : Construction de réels à l'aide de séries (Oral)

Re,
@Maewenn  : merci. j’avais bien compris cette partie du raisonnement de notre ami. Je voulais simplement signifier que je ne suis pas d acccord non plus’ avec sa conclusion que j’ai par conséquent citée dans mon dernier post. :-)

Dernière modification par Zebulor (22-11-2019 20:12:25)

Maenwe

Membre confirmé

Inscription : 06-09-2019

Messages : 409

Re : Construction de réels à l'aide de séries (Oral)

Ah d'accord ! Mauvaise compréhension de ton message de ma part alors ;)

delveraria

Membre

Inscription : 05-07-2019

Messages : 8

Re : Construction de réels à l'aide de séries (Oral)

Bonjour,

@Maenwe, @Zebulor, merci à vous deux pour les réponses. En effet, après relecture l'arrivée à ma conclusion me paraît un peu floue, je voulais dire :
les éléments de $\left[\frac{1}{(k+1)^{2}} , \frac{1}{k^{2}}\right]$ sont tous atteignables ssi $R_k > \frac{1}{k^{2}}$
et donc :
les éléments de $\left[0, \frac{1}{4}\right]$ sont tous atteignables ssi $\forall n\in\mathbb{N}\backslash\{0,1\},  R_n > \frac{1}{n^{2}}$

J'avais montré dans une première partie de mon raisonnement (que je n'ai pas mise ici, mea culpa) qu'on pouvait construire une suite $(\varepsilon_n)$ convenable si après avoir supprimé les termes trop grands ce qu'il nous restait était plus grand que $x$, d'où mon équivalence.
J'obtiens finalement $I=\left[0,\frac{\pi^{2}}{6}-1\right]\cup\left[1,\frac{\pi^{2}}{6}\right]$

@Zebulor merci pour le conseil LateX

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 225

Re : Construction de réels à l'aide de séries (Oral)

bonjour;
@delveraria : le conseil latex ? :-) remercie plutôt Maewen !
Sinon sur le fond :

les éléments de $\left[\frac{1}{(k+1)^{2}} , \frac{1}{k^{2}}\right]$ sont tous atteignables ssi $R_k > \frac{1}{k^{2}}$
et donc :
les éléments de $\left[0, \frac{1}{4}\right]$ sont tous atteignables ssi $\forall n\in\mathbb{N}\backslash\{0,1\},  R_n > \frac{1}{n^{2}}$

Je vais te relire mais je ne vois toujours pas comment tu obtiens ces équivalences parce que :

avec ton raisonnement tu as simplement montré que si $x < \frac{1}{k^{2}}$ et $x = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\varepsilon_{n}}{n^{2}}$ alors $x < R_{k}$

Ai je loupé quelque chose ?

A+

Dernière modification par Zebulor (23-11-2019 16:57:49)

delveraria

Membre

Inscription : 05-07-2019

Messages : 8

Re : Construction de réels à l'aide de séries (Oral)

Bonsoir,

La démonstration du sens retour ($x<\frac{1}{k^{2}}$ et $x<R_{k}$ implique $(\varepsilon_n)$ existe) qui permet l'équivalence est plus longue, ici je ne m'intéressais qu'au résultat $R_{n}>\frac{1}{n^{2}}$.

En effet, pardon je voulais dire merci à @Maenwe.

Zebulor

Membre expert

Inscription : 21-10-2018

Messages : 2 225

Re : Construction de réels à l'aide de séries (Oral)

Bonjour,
je ne suis toujours pas convaincu..bien que n'ayant ni bu ni fumé quoi que ce soit.