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Mika

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Récurrence : Diagonales d'un polygone convexe. [Résolu]

Tout d'abord bonsoir amis des maths :]

Récemment nous avons vu la récurrence en cours, et naturellement les exercices suivent par la suite. Et c'est là que les problèmes arrivent.
L'ennoncé de l'exercice est le suivant :

Pour tout entier naturel n>3, on appelle dn le nombre de diagonales d'un polygone convexe ayant n sommets

1*) Calculer d3, d4 et d5

Ici aucun soucis.

2*) Pour tout n>3 , exprimer d(n+1) en fonction de dn.

Fait et j'ai trouvé : d(n+1)=dn+(n-1)

3*) Déterminer par récurrence une expression de dn en fonction de n.

C'est ici que j'ai un problème. Malgrè le fait que j'ai trouvé la formule intuitivement : [n(n-3)]/2. Je n'arrive pas à démontrer rigoureusement cette dernière expression.

J'essaie d'appliquer le cours que l'on a fait sur la récurrence :
1. Vérifier qu'elle est vraie pour la première valeur de n : Fait
2. Si on suppose la proposition vraie au rang q, quel que soit la valeur de q entièr. Ici j'ai exprimé Pn '' d(n+1)=dn+(n-1)'' en remplaçant n par q.
Mais je n'arrive pas à démontrer la proposition au rang suivant. Je ne suis même pas sur que ma proposition Pn est judicieusement choisie.

Merci d'avance pour le petit (voir gros) coup de pouce ;)

Bonne soirée.

Mika.

yoshi

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Re : Récurrence : Diagonales d'un polygone convexe. [Résolu]

Bonsoir Mika,

Et Bienvenue sur BibM@th...
Tu as raison sur toute la ligne, et tu es arrêté par un grain de sable...
Donc
[tex]d_{n+1}=d_n+(n-1)\;et\;d_n=\frac{n(n-3)}{2}[/tex]
Donc tu dois attendre :
[tex]d_{n+1}=\frac{(n+1)(n-2)}{2}[/tex]
obtenu en remplaçant n par n+1 dans la formule ci dessus...
Comment y arriver ? Avec un peu de calculs...
[tex]d_{n+1}=d_n+(n-1)=\frac{n(n-3)}{2}+(n-1)=\frac{n(n-3)+2n-2}{2}[/tex]
Tu développes, tu réduis et tu refactorises ton numérateur...
Comment factoriser ?
Soit en cherchant les racines du polynôme via le discriminant par ex, soit en trouvant une "solution évidente" (en général, 1 ou -1), ici 1
Tu développes (n-1)(n+b), tu identifies alors terme à terme avec ton polynôme et tu trouves b = 2...

@+

PS Mais la factorisation est tellement évidente que tu peux te permettre de passer directement du polynôme à sa forme factorisée.

Mika

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Re : Récurrence : Diagonales d'un polygone convexe. [Résolu]

Merci bien pour cette réponse.

Alors j'ai suivi tes indications et je suis arrivé à ceci :

dn+1 = (n²-n-2)/2 =  [(n+1)(n-2)]/2   Mais j'arrive pas à voir en quoi l'utilisation du discriminant est utile la dedans

Amicalement, Mika

Dernière modification par Mika (14-11-2007 21:13:48)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Récurrence : Diagonales d'un polygone convexe. [Résolu]

Bonsoir,

Le discriminant permettait de trouver les racines 1 et -2 de n²-n-2 et donc de factoriser en (n-1)(n+2)...
Mais ainsi que je l'ai rajouter en PS la factorisation était tellement simple qu'on pouvait (probablement) faire l'impasse et l'écrire directement...

C'est tout

Mika

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Re : Récurrence : Diagonales d'un polygone convexe. [Résolu]

Rebonsoir,

Donc normalement - si j'ai bien compris - (n-1)(n+2) est la factorisation de n²-n-2.
Mais si je développe :  (n-1)(n+2) = n²+n-2  C'est cela que je ne comprend pas

yoshi

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Re : Récurrence : Diagonales d'un polygone convexe. [Résolu]

Ok !

J'ai gaffé, les solutions sont bien -1 et 2 ce qui donne (n+1)(n-2)...

Voilà ce que c'est que de faire ça direct à l'écran...

J'avais écrit la première fois :

Tu développes (n-1)(n+b), tu identifies alors terme à terme avec ton polynôme et tu trouves b = 2

c'était déjà faux..

Mais là :

Donc tu dois attendre :
[tex]d_{n+1}=\frac{(n+1)(n-2)}{2}[/tex]

C'était juste

@+

Mika

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Re : Récurrence : Diagonales d'un polygone convexe. [Résolu]

Ok ! Eh bien dans ce cas merci beaucoup pour avoir usé de ton temps libre pour m'expliquer ce petit soucis :)

Amicalement, Mika