Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Kurenay

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Théorie de la mesure

Bonsoir,
On considère une espace probabilisé [tex](\Omega , \mathcal{A}, \mathbb{P})[/tex] et une suite d'événements  [tex](A_n)_{n \geq 0}[/tex]
On admet que [tex]\sum_{n=0}^{\infty}\mathbb{P}(A_n) < + \infty[/tex].
Montrer que  [tex]\sum_{n=0}^{\infty}1_{A_n} < + \infty[/tex] presque surement.

[tex]\sum_{n=0}^{\infty}1_{A_n}(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{p=0}^n 1_{A_p}(x)[/tex]
Le cas ou les [tex]A_p[/tex] sont 2 à 2 disjoints est vrai car la limite sera égale soit à 0 soit à 1.
Mais pour l'autre cas, j'ai envie de dire que l'hypothèse signifie que x appartient à [tex]A_n[/tex] que pour un nombre fini de n mais c'est la définition de ce qu'on veut montrer, ça semble trop rapide...

Maenwe

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Re : Théorie de la mesure

Bonjour,

As tu pensé à utiliser l'une des propriétés des mesures ? La sous-additivité par exemple...

Cordialement

Kurenay

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Re : Théorie de la mesure

En utilisant la sous additivité, on a: [tex]\mathbb{P}(\bigcup_{n \geq 0}A_n) \leq \sum_{n \geq 0} \mathbb{P}(A_n)[/tex] mais je ne vois toujours pas

Fred

Administrateur

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Re : Théorie de la mesure

Bonjour

  Moi j’appliquerai le théorème de convergence monotone à la somme partielle.

F.

Kurenay

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Re : Théorie de la mesure

Je n'arrive toujours pas à voir comment aboutir à ce résultat :/

Maenwe

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Re : Théorie de la mesure

Bonjour,

La piste que j'ai donné n'était pas très bonne alors en voici une nouvelle :
dire que $\sum\limits_{k=0}^{+\infty} \mathbb{1}_{A_{k}}$ converge presque sûrement c'est dire que $liminf (A_{n}) = \cup_{n\geq 0} \cap_{k\geq n} A_{k}$ est négligeable. C'est à dire que $\mathbb{P}(liminf (A_{n})) = 0$, j'ai effectué les calculs et on aboutit donc je suis à peu près sûr de cette piste.
Une petite indication $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \mathbb{P}(A_{n}) = 0$.

Dernière modification par Maenwe (04-11-2019 08:37:46)

Fred

Administrateur

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Re : Théorie de la mesure

Re-

  Pour moi, je voulais dire que la fonction $f=\sum_n 1_{A_n}$ vérifie $\int f<+\infty$ d'après ton hypothèse et le théorème de convergence monotone. Donc elle est finie pp.

F.