Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Nilus

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Sous-suite stationnaire

Bonsoir

On considère la suite de [tex]R^2[/tex] définie comme suit :[tex]\begin{array}[*{15}{c}]~ X_1 & X_2 & X_3 & X_4 & X_5& X_6& X_7& X_8& X_9& X_{10}& X_{11}& X_{12}& X_{13}& X_{14}& X_{15}\\1 & 0 & 0 & 1& 1 & 0 &0 & 1&0&1&0&0&0&0&1\\1 & 1 & 0 & 1& 0 & 1 &0 & 1&1&0&0&1&1&0&0\\\end{array}[/tex]

Ainsi que les suites d'extraction suivante:[tex]u=(1,4,5,8,10,15), \\ v=(1,2,4,6,8,9,12,13),\\w=(1,2,4,7,8),\\z=(1,3,5,9,11).[/tex]

Quelles sont les suites extraites stationnaires parmi les suites suivantes : [tex]X_{v\circ u},X_{v\circ z},X_{w\circ u},X_{u\circ w}[/tex]?

Je ne vois pas à quoi la fonction d'extraction [tex]v\circ u[/tex] est égale.
Merci de votre aide.

Maenwe

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Re : Sous-suite stationnaire

Bonjour,

Si tu n'arrives pas à calculer à quel(s) composition(s) de cycle(s) est égal cette composition de cycles, essaye de calculer le résultat final avec cette représentation ci d'une permutation :
$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\a & b & c & d & e & f & g & h & i & j & k & l & m & n & o & p\end{pmatrix}$
Est-ce que ça t'aide un peu ?

Dernière modification par Maenwe (30-10-2019 10:10:51)

Nilus

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Re : Sous-suite stationnaire

Je ne vois pas que faire avec ce tableau de permutation.Nous avons  [tex]v \circ z(n)=v(z(n))[/tex]; pour n=3 par exemple v(z(3))=v(5)=X(8).

Dernière modification par Nilus (30-10-2019 18:50:47)

Maenwe

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Re : Sous-suite stationnaire

Bonsoir,

toute permutation peut-être écrite sous forme "de tableau", donc il existe des entiers a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p, tel que :
$v \circ u = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\a & b & c & d & e & f & g & h & i & j & k & l & m & n & o & p\end{pmatrix}$

Je te donnes les valeurs de a,b,c,d et te laisse compléter la suite :
Puisque $v \circ u (1) = 6$ on a donc $a = 6$, de même :
$b = 4$, $c = 3$, et $d = 5$.

Et une fois que tu auras complété entièrement le tableau tu auras totalement déterminé $v \circ u$.

PS : Tu es sûr de l'énoncé de ton exercice ? Parce que la composé de deux permutations est encore une permutation donc une bijection, donc aucunes de suites extraites ne peut être stationnaire. Ce ne serait pas plutôt les suites extraites du type $(X_{(v \circ u)^{n}(1)})$ ?

Dernière modification par Maenwe (30-10-2019 20:57:07)

Nilus

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Re : Sous-suite stationnaire

Bonjour,

Si tu n'arrives pas à calculer à quel(s) composition(s) de cycle(s) est égal cette composition de cycles

Comment sait-on qu'une suite d' extraction est un cycle ?

Dernière modification par Nilus (30-10-2019 19:44:43)

Maenwe

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Re : Sous-suite stationnaire

La suite d'extraction n'est pas forcément un cycle, mais puisque ici tes suites d'extractions sont des compositions de cycles, ce sont des permutations et donc peuvent être décomposé en composition de cycle à support disjoint (désolé j'avais oublié le disjoint). Mais pour l'exo ce n'est pas nécessaire, c'est juste plus pratique à calculer soit en les voyant ainsi, soit en les voyant sous formes de tableau.

Et du coup je retire ce que j'ai dit pour la partie "es tu sûr de l'énoncé ... ?", ce que j'ai dit dans mon PS dans mon précédent message était faux.

Dernière modification par Maenwe (30-10-2019 21:05:37)

Nilus

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Re : Sous-suite stationnaire

Un cycle est une permutation, or une permutation est bijective et les fonctions d'extraction ici ne sont pas bijectives.Comment justifiez vous le nom de cycle pour désigner des applications non bijectives ?

Dernière modification par Nilus (30-10-2019 22:01:12)

Maenwe

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Re : Sous-suite stationnaire

Bonjour,

A moins que ce soit une autre notation, on est bien d'accord que les suites d'extractions, u,v,w et z sont des permutations (et même des cycles) ?

Si oui ce sont donc des bijections, et la composée de deux bijections est une bijection, donc une permutation dans ce contexte, non ?

Nilus

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Re : Sous-suite stationnaire

Une sous- suite n'est pas une permutation:https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Sous-suite.La notation est celle d'un ensemble.

Maenwe

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Re : Sous-suite stationnaire

Bonsoir,

Je suis bien d'accord, mais là je parle de la bijection $\phi$ énoncé dans la page wikipédia que tu as envoyé. u, v, w, et z sont des cycles, ce sont donc des bijections, et ont en plus la particularité d'être strictement croissant.
Donc en plus du fait qu'il faille vérifier que la suite induite soit stationnaire il faut aussi vérifier que les compositions de cycles les induisant sont strictement croissantes.

Dernière modification par Maenwe (31-10-2019 18:42:53)

Nilus

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Re : Sous-suite stationnaire

[tex]\phi[/tex] n'est pas une permutation sur car une sous-suite supprime des éléments de la suite de départ,vous avez simplement pris la notation des suites extraites ici pour celles de cycles.

Dernière modification par Nilus (31-10-2019 19:54:47)

Maenwe

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Re : Sous-suite stationnaire

Oh d'accord je vois, il existe les deux notations en maths pour les cycles c'est pour ça que j'ai cru que c'était la notation pour un cycle.
Autant pour moi, désolé de la confusion.

Donc maintenant on parle de la même chose, ça devrait aller alors.
Je vais clarifier un peu les choses avant pour être sûr que l'on parle de la même chose :
chacune des extractrices (suites d'extraction) ne sont pas toutes définis sur le même ensemble, par exemple u est défini sur $[|1,6|]$ (et à valeurs dans $\{1,4,5,8,10,15\}$)et w sur $[|1,5|]$ (et à valeurs dans $\{1,2,4,7,8\}$).
Donc dans cette optique là $w \circ u$ n'est pas défini car $\{1,4,5,8,10,15\} \not \subset [|1,5|]$. Et d'après ce que tu as écrit au poste #3, ce que j'ai dit avant dans ce poste me semble correcte. Donc puisque $w \circ u$ n'est pas définie ce n'est pas une extractrice.
Et c'est la même chose pour toute les autres extractrices donc soit c'est ma précédente interprétation de la notation qui était correcte (et dans ce cas je le concède ce ne peut être des extractrice car elles ne sont pas strictement croissante) soit aucune de ces suites extraites n'est stationnaire car elles ne sont même pas définis.

Ais-je fais encore une erreur d'interprétation des notations ?

Dernière modification par Maenwe (31-10-2019 20:43:59)