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Leo12

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Re : Nombres complexes et suite , terminale S

Mais du coup est ce la bonne formule ?

freddy

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Re : Nombres complexes et suite , terminale S

Je ne comprends pas ta question.

Leo12

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Re : Nombres complexes et suite , terminale S

Du coup je dirai que :
S = 1× (1-j²⁰¹⁹) / (1-j)
= 1×1 - j ²⁰¹⁸

J²⁰¹⁸ étant egale a j³×⁶⁷²+² = j²
Donc S = 1- j² ?

yoshi

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Re : Nombres complexes et suite , terminale S

Re,

Il y a une question que je t'ai posée et que tu as zappée :
Combien vaut
$j+j^2+j^3$ ?
$j^4+j^5+j^6$ ?
Compare les deux...

Pour moi, tu n'as pas besoin des suites :
$j^{2019} = j^3$
donc
$j^{2018} =j^?$
$j^{2017} =j^?$

$j^{2017}+j^{2018}+j^{2019} = ?$

@+

freddy

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Re : Nombres complexes et suite , terminale S

Du coup je dirai que :
S = 1× (1-j²⁰¹⁹) / (1-j)
= 1×1 - j ²⁰¹⁸

J²⁰¹⁸ étant egale a j³×⁶⁷²+² = j²
Donc S = 1- j² ?

Aïe, c'est archi faux, tes deux trucs, désolé de le dire. Tu n'as pas le droit de simplifier comme tu fais, attention !

Pour réviser, combien vaut $1+x^2+\cdots +x^n$ ?
Ensuite, tu appliques !

Sinon, yoshi a une très bonne idée, tout à fait en ligne avec l'exo, regarde bien et exploite là, c'est sûrement comme ça qu'il faut faire l'exo !

yoshi

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Re : Nombres complexes et suite , terminale S

Bonjour,

Pour avoir enfin une réponse à mes questions (3e édition) :

Combien vaut
$j+j^2+j^3$ ?
$j^4+j^5+j^6$ ?
Compare les deux...

Il faut donc que je te mette le nez dessus :
$j=j^1=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$j^2 =-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$j^3= 1$

$j+j^2+j^3=\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+1$
Si groupe les parties réelles puis imaginaires :
$j+j^2+j^3=\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}+1\right)+i\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
Si tu fais les calculs, tu trouves quoi ?

Si je continue mes observations, puisqu'il a été établi que
$j^4= j$
$j^5 = j^2$
$j^6=j^3$
$j^4+j^5+j^6=j+j^2+j^3 = ?$

$j^{3k+1}=j^{3k}\times j = (j^3)^k)\times j=1\times j =j$
On montrerait de même que :
$j^{3k+2}=j^2$
$j^{3k+3}= j^3 =1$

Donc :
$j^{3k+1}+j^{3k+2}+j^{3k+3}=j+j^2+j^3$
Et on en revient à ma question :
combien vaut : $j+j^2+j^3$  ???

Quant à
$j^{2107}+j^{2018}+j^{2019}$
si je prends k=672 :
$j^{2107}+j^{2018}+j^{2019}=j^{3\times 672+1}+j^{3\times 672+2}+j^{3\times 672+3}=j+j^2+j^3$
Alors ?
Tu n'as pas l'impression que c'est une valse à 3 temps
(1 2 3) (1 2 3) (1 2 3) ... (1 2 3) ?

Mais au risque de passer pour un radoteur, que vaut donc  $j+j^2+j^3$ ?

Si tu réponds à cette question 90% du boulot est fait...

@+

Leo12

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Re : Nombres complexes et suite , terminale S

Ok donc j+j²+j³ = 0 = j⁴ +j⁵ +j⁶
Donc la somme sera forcément égale à 0

Dernière modification par Leo12 (29-10-2019 11:18:02)

yoshi

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Re : Nombres complexes et suite , terminale S

Re,
Bin oui...
Inutiles les suites... C'était bien plus simple...

Bon, il te reste juste à établir que
$j+j^2+j^3+j^4+j^5+j^6+\cdots+j^{2019}=(j+j^2+j^3)\times n$ et donner n...

Maintenant, tu devras te poser ces 2 questions :
* pourquoi est-ce que je n'ai pas vu ça tout de suite ?
* pourquoi a-t-il fallu insister si lourdement  pour que j'arrive à le voir ?

@+

freddy

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Re : Nombres complexes et suite , terminale S

Ok donc j+j²+j³ = 0 = j⁴ +j⁵ +j⁶
Donc la somme sera forcément égale à 0

Salut,

attention, si on parle de la somme de l'énoncé de l'exo, c'est à dire de $S=1+j+j^2+\cdots + j^{2019}$, c'est inexact.

Leo12

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Re : Nombres complexes et suite , terminale S

Ok donc j+j²+j³ = 0 = j⁴ +j⁵ +j⁶
Donc la somme sera forcément égale à 0

Salut,

attention, si on parle de la somme de l'énoncé de l'exo, c'est à dire de $S=1+j+j^2+\cdots + j^{2019}$, c'est inexact.

Ah oui donc la somme sera egale a 1 vu que il ya le 1 devant qui se rajoute

freddy

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Re : Nombres complexes et suite , terminale S

Oui, c'est ça.

Je te laisse finir la piste de yoshi, je pense que c'est celle qu'on voulait que tu suives.
La mienne était la suivante.
La somme S est égale à $S=1+j+j^2+\cdots+j^{2019}=\dfrac{1-j^{2020}}{1-j}$. Tu remarqueras que $j$ est différent de 1.
Or, tu as montré que $j^{2020}=j^{673\times 3+1}=j$. Par conséquent, S = 1.

PS : pour $x\ne 1$, on a le résultat suivant, que tu dois connaître :
$1+x+x^2+\cdots + x^n=\dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}$ puisqu'il y a $n+1$ termes.

Dernière modification par freddy (29-10-2019 16:24:16)