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Loulouise

Invité

Trouver les fonctions adéquats

Bonjour,

J'ai des difficultés à poursuivre un exercice.
En effet à partir d'une formule que l'on a démontrer qui est :  ∀ u>0, v>0, t ∊ ]0,1[ ,

ln( tu + (1 - v)) > tln(u) + (1 - t)ln(v)

On doit en déduire : pour tout x[tex]\in ]0,\frac{π}{4}[[/tex]

ln(cos(x)) > tan(x)ln(sin(x))

en choisissant des fonctions adéquats pour u, v et t.

après de longues recherche, mon meilleur résultat fut de prendre t = tan²(x),  u = sin²(x)   et  v=1

mais cela me mène à : ln(cos(x)) > tan²ln(sin(x))

Donc ça ne va pas vraiment...

Par ailleurs pour la suite de l'exercice, on nous demande d'en déduire que

sin(x)^sin(x)<cos(x)^cos(x)

Et la je ne sais vraiment plus quoi faire...

freddy

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Re : Trouver les fonctions adéquats

Salut,

le premier résultat est classique pour une fonction concave

Ensuite, en supposant qu'on ait prouvé le second résultat, le troisième tombe comme un fruit mûr puisque la tan x est le quotient du sinx et du cos x !

Dernière modification par freddy (28-10-2019 18:59:36)

Maenwe

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Re : Trouver les fonctions adéquats

Bonsoir,

La première inégalité (qui est fausse d'ailleurs (car pas défini pour $v>1$) c'est plutôt ça : $ln( t.u + (1 - t).v) \geq t.ln(u) + (1 - t).ln(v)$) tu as réussie à la montrer ? (Si non : c'est dû à la concavité du logarithme...). Mais je pense que c'est juste une erreur de frappe ;)

J'ai eu une petite idée pour résoudre ton problème qui a aboutit ;) Je te la présente :
J'ai d'abord réécrit l'inégalité de concavité :
$ln( t.u + (1 - t).v) \geq t.ln(u) + (1 - t).ln(v)$ $\iff$ $ln( t.(u-v) + v) \geq t.(ln(u)-ln(v)) + ln(v)$ $\iff$ $ln( t.(u-v) + v) - ln(v) \geq t.ln(\frac{u}{v})$ $\iff$ $ln( t.(\frac{u}{v}-1) + 1) \geq t.ln(\frac{u}{v})$.

Et après je me suis dit dans un premier temps : et si on prenait $t = tan(x)$ et $\frac{u}{v} = sin^{2}(x)$, et en bidouillant il s'avère qu'on a un truc un peu mieux avec $t = 2tan(x)$. Et après j'ai utilisé une inégalité :
$ln( t.(\frac{u}{v}-1) + 1) = ln(2.tan(x)(sin^{2}(x)-1)+1) = ln(-2.tan(x)cos^{2}(x)+1) = ln(1-2.sin(x).cos(x)) = ln(1-sin(2x))$
Et $t.ln(\frac{u}{v}) = 4.tan(x).ln(sin(x))$.
Donc, $tan(x).ln(sin(x)) \leq ln((1-sin(2x))^{\frac{1}{4}})$

Après il s'agirait de montrer que $(1-sin(2x))^{\frac{1}{4}} \leq cos(x)$, et j'ai vérifié sur l'ordinateur, graphiquement on peut constater que ça marche, mais il reste à le montrer et j'ai un peu la flemme ce soir, donc je continuerai peut-être ça demain si tu n'as pas réussi à montrer ça !

EDIT : Bon je retire ce que j'ai dit au tout début sur la concavité de ln, freddy m'a dépassé !

Dernière modification par Maenwe (28-10-2019 19:20:04)

Loulouise

Invité

Re : Trouver les fonctions adéquats

Bonjour,

Je viens de lire vos réponse et voulais vous dire merci beaucoup, elles m'ont pas mal éclairée !

J'avais réussi à prouver la première inégalité à l'aide d'une étude de fonctions (en fixant t et u et en faisant varier v).

Pour la deuxième j'ai eu le même début de raisonnement que Maenwe mais j'avais fini par me perdre un peu dans mes calculs. Mais je comprends ce que vous avez fait, et même si e n'y avait pas pensé, je pense que je serai capable de le refaire (je vais en tout cas essayer).
pensez-vous que pour prouver votre dernière inégalité, je puisse me servie d'une étude de fonction ?
Je pourrais par exemple prouver que pour tout x de notre ensemble,

[tex] (1-sin(2x)) ^1/4 - cos(x) =< 0 [/tex]

Enfin pour le 3ème résultat en effet il est finalement assez simple ^^¨ Je l'ai réussi merci beaucoup !

Maenwe

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Re : Trouver les fonctions adéquats

Bonsoir,

Oui c'est possible je pense, je ferais les calculs en rentrant, il s'agirait de montrer que la dérivé ne s'annule qu'en un point, mais j'ai le sentiment  qu'il y a plus  simple  mais je ne vois pas...

EDIT :

En étudiant la fonction f définie par : $f(x) = cos(x)^{4} - 1 + sin(2x)$, ça fonctionne et en dérivant deux fois on voit que f' est strictement décroissante sur l'intervalle considéré et "donc" ne s'annule qu'une fois sur l'intervalle considéré, et f' est ainsi positive avant son annulation et négative après (car $f'(0) = 2$ et $f'(\frac{\pi}{4}) = -4(\frac{\sqrt{2}}{2})^{4} < 0$) donc le minimum de f est $min\{f(0), f(\frac{\pi}{4})\} = 0$. Et ça conclut !

Dernière modification par Maenwe (30-10-2019 10:20:02)