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Zebulor

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Re : Racines de l'équation

Ton effort de calculs du post #13 est louable mais j'ai l'impression que tu es perdu. Il faut remonter aux résultats auxquels on a aboutit précédemment, à savoir que $\alpha=t_1$, $\beta=t_2$ et $\delta=t_4$ sont  racines de $E_2$ : $t^3+t^2-2t-1=0$.
Il me semble que tu peux donc tout de suite assimiler $\alpha$ à $x_1$, $\beta$ à $x_2$ et $\delta$ à $x_3$..non?

Ton professeur t'indique que les solutions de $E_2$ vérifient des propriétés particulières avec 3 équations...

Dernière modification par Zebulor (28-10-2019 14:01:45)

Zebulor

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Re : Racines de l'équation

Le post #21# pardon...

Zebulor

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Re : Racines de l'équation

$t^3+t^2-2t-1$ est un polynôme du troisième degré que tu peux directement assimilier au polynôme P(x) donné par ton professeur dans ce post #21#.
ah tu as retiré ton post...pas grave.
Peut être qu'il te manque une donnée : une racine d'un polynôme c'est tout simplement un nombre qui annule ce polynôme. Par exemple $x_1$ est racine de P si et seulement si P($x_1$)=0..
Si $Q$ est le polynôme $Q(t)=t^3+t^2-2t-1$ alors $t_1, t_2$ et $t_3$ sont racines de Q au même titre que $x1,x2$ et $x3$ le sont pour le polynôme P de ton post #21..

Dernière modification par Zebulor (30-10-2019 21:37:35)

Cesaratto

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Re : Racines de l'équation

$\begin{cases}  &  \text{ }  \alpha+\beta+\delta=  -(\alpha+\beta+\delta) \\   &  \text{ }  \alpha\beta+\beta\delta+\alpha\delta = \alpha\beta +\beta\delta +\alpha\delta\\    & \text{ } \alpha\beta\delta = -\alpha\beta\delta  \end{cases}$

Donc ici je développe le  calcul

Zebulor

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Re : Racines de l'équation

Tu as fait quelques erreurs de signe - il m'arrive d'en faire aussi -... il n'y a pas de signe "moins" à ta première et dernière ligne.
tu peux déjà voir que ton systéme est faux pour la 3e ligne puisqu'il implique que $\alpha$$\beta$$\delta$=0 or ni $\alpha$ , $\beta$ ou $\delta$ ne sont nuls..

Dernière modification par Zebulor (29-10-2019 09:00:47)

Zebulor

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Re : Racines de l'équation

Plus j'essaie de t'expliquer plus tu sembles perdu. Alors je vais tenter une autre stratégie :
que valent $\frac{-b}{a}$, $\frac{c}{a}$  et $\frac{-d}{a}$ dans le cas qui nous intéresse?

Soit P(x)= $ax^3+bx^2+cx+d$
Soient $x_1,x_2,x_3$ les racines du polynômes P
Alors :

$\begin{cases}
& \text{  }  x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} \\
& \text{ }   x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 = \frac{c}{a} \\
& \text{ } x_1x_2x_3 = \frac{-d}{a}
\end{cases}$

il se trouve que le polynôme $Q(t)=t^3+t^2-2t-1$ est un polynôme de degré 3. Donc je peux l'assimiler à $P$ ci dessus.
J'en déduis les valeurs de $a, b ;c$ et $d$.
$\alpha$, $\beta$ et $\delta$  sont racines de $Q$ puisque c'est ce qu'on a démontré précédemment hier....
Elles le sont tout comme $x_1,x_2,x_3$ pour P. Je peux donc assimilier $\alpha$ à $x_1$, $\beta$ à $x_2$ et $\delta$ à $x_3$  dans le système d'équations ci dessus .. non ?

Dernière modification par Zebulor (30-10-2019 21:38:44)

Cesaratto

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Re : Racines de l'équation

J'ai bien compris que notre polynôme de degré 3 c'est $P(t)=t^3+t^2-2t-1$ et que les racines sont $t_1=\alpha=x_1,t_2=\beta=x_2$ et $t_4=\delta=x_4$ dans notre $a=1, b=1, c=-2 et d=-1$

Donc si je remplace tout sa dans le système cela va me donner :

\begin{cases}  & \text{  }  \alpha + \beta + \delta = -1 \\   & \text{ }   \alpha\beta+\beta\delta+\alpha\delta = -2 \\   & \text{ } \alpha\beta\delta = 1\end{cases}

Dernière modification par Cesaratto (28-10-2019 17:24:58)

Zebulor

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Re : Racines de l'équation

Re,
Tout à fait c'est juste une histoire de substitution et d'identification..il ne fallait pas chercher plus loin mais je ne suis pas sur que tu en es convaincu..parce que tu ne t es pas exclamé "ah oui d 'accord" comme hier :-)

Je reprends :
Soit P(x)= $ax^3+bx^2+cx+d$
Soient $x_1,x_2,x_3$ les racines du polynômes P
Alors :

$\begin{cases}
& \text{  }  x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} \\
& \text{ }   x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 = \frac{c}{a} \\
& \text{ } x_1x_2x_3 = \frac{-d}{a}
\end{cases}$

Peut être que ce qui te gêne c'est la variable $x$ dans l'expression de P...
$x$ est une variable muette que tu peux très bien remplacer par $t$..
Ici les racines s'appellent $x_1,x_2,x_3$ , mais tu pourrais très bien les appeler $u,v,w$, par exemple puisqu'elles aussi sont muettes...

L'important n'est pas tant l'appellation des racines, mais le rôle qu'elles jouent dans un polynôme de degré 3. Leur rôle c'est d'annuler ce polynôme.
De même les coefficients de P que sont a, b et c pourraient s"appeler p,q et r ...

$t^3+t^2-2t-1$=$at^3+bt^2+ct+d$ <==> $a=1,b=1,c=-2,d=-1$
et $x_1,x_2,x_3$ sont racines de $t^3+t^2-2t-1$ <==> $\alpha, \beta$  et $ \delta$  sont racines de $t^3+t^2-2t-1$

Là encore je peux remplacer les variables en $t$ par n"importe quelle lettre.. x, y ... r...  mais pas $z$ parce qu'il est fonction de $t$! et qu'il vérifie une toute autre équation ..

Soient $x_1,x_2,x_3$ les racines du polynômes P
Alors :
$ x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a}$

Je traduis : si 3 nombres sont racines d'un polynôme de degré 3, alors leur somme vaut l opposé du quotient du coefficient du terme de second degré par le terme de degré 3.  Cest le cas de alpha, beta et delta. quel est cet opposé ? je regarde dans léquation E2 ça vaut -1
Avoue que c 'est long.. l'écriture mathématique à l'avantage d être succinte..
Et ca se traduit par : $\alpha + \beta + \delta = -1$

Dernière modification par Zebulor (30-10-2019 19:44:02)

Cesaratto

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Re : Racines de l'équation

Non non j'ai très bien compris c'est vrai qu'il faut bien rester concentré pour pas se mélanger les pinceaux ^^'
C’était très bien expliqué de votre part vous m'avez expliqué partie par partie et je vous en remercie :) Maintenant je vais essayer de rédiger tout sa proprement pour que ce soit compréhensible.

Zebulor

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Re : Racines de l'équation

Le plus difficile peut être est d'avoir une vue d'ensemble. Un prof de maths nous conseillait de lire d'abord toutes les questions avant de se lancer tête baissée dans les calculs...
Jai appris des choses sur les équations du 3e degré.
Bonne rédaction !

Dernière modification par Zebulor (28-10-2019 20:12:09)

Cesaratto

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Re : Racines de l'équation

Je reviens vers vous car il reste une dernière question ou je trouve une truc a rallonge.

On pose ensuite :

$A=\sqrt[3](\alpha)+\sqrt[3](\beta)+\sqrt[3](\delta)$
$B=\sqrt[3](\alpha\beta)+\sqrt[3](\beta\delta)+\sqrt[3](\alpha\delta)$
$C=\sqrt[3](\alpha\beta\delta)$

Montrer que $A^3=3AB-4$ et $B^3=3AB-5$ a cette question je n'ai pas eu de problème mais plutot celle-ci:

En posant u=AB, montrer que $(u-3)^3+7=0$ et en déduire la valeur de u

J'ai commencer par faire $(AB-3)^3+7=0 \Leftrightarrow (AB)^3-9(AB)^2+27AB-2=0$

On nous donne $A^3$ et $B^3$ mais c'est pour $A^2$ et $B^2$ ou je trouve des trucs longs.

Pour $A^2=(\sqrt[3](\alpha)+ \sqrt[3](\beta)+\sqrt[3](\delta))^2  \Leftrightarrow A^2=\sqrt[3](\alpha)^2+\sqrt[3](\beta)^2+\sqrt[3](\delta)^2-4$ et pour
$B^2=(\sqrt[3](\alpha\beta)+\sqrt[3](\beta\delta)+\sqrt[3](\alpha\delta))^2$ $\Leftrightarrow$

$B^2=(\sqrt[3](\alpha\beta)^2+\sqrt[3](\beta\delta)^2+\sqrt[3](\alpha\delta)^2+2(\sqrt[3](\alpha\delta)\sqrt[3](\beta)^2+\sqrt[3](\beta\delta)\sqrt[3](\alpha)^2+ \sqrt[3](\beta\alpha)\sqrt[3](\delta)^2)$

Je ne sais pas si c'est correct mais sa risque de mal tenir sur une copie double.

Dernière modification par Cesaratto (28-10-2019 21:23:43)

Zebulor

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Re : Racines de l'équation

Rebonjour,
Bonne idée de raisonner par équivalence. Tu as raison sur le principe, même si souvent il vaut mieux fuir les développements mais là..pas trop le choix je crois. Je pense avoir réussi à t'épargner une deuxième copie double et comme disait mon prof de français "c'est plus simple".
Tu as du courage et de la patience pour écrire ces racines...

Juste une erreur de calcul car en fait c'est :
$(AB-3)^3+7=0 \Leftrightarrow (AB)^3-9(AB)^2+27AB-20=0$

Essaie d'exploiter ce qu'on sait déjà, c'est la philosophie du sujet.. à savoir :
$A^3=3AB-4$ et $B^3=3AB-5$ ...
Car tu as succombé aux charmes des racines cubiques tel Ulysse fasciné par les sirènes.

Alors une piste : $(AB)^3-9(AB)^2+27AB-20=0$ $\Leftrightarrow $ $A^3B^3-9(AB)^2+27AB-20=0$

Ensuite en déduire la valeur de $u$ passe par la racine cubique de -7. La fonction racine cubique étant définie partout... et bijective de surcroit, finalement bien sympatique ...

Sujet bien intéressant(à mes yeux).

Dernière modification par Zebulor (29-10-2019 13:24:15)

Cesaratto

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Re : Racines de l'équation

Rebonjour,

J'ai cherché loin alors que le résultat était sous mes yeux :,)

$A^3=3AB-4$ et $B^3=3AB-5$ donc je remplace

$(3AB-4)(3AB-5)-9(AB)^2+27AB-20=0$ $\Leftrightarrow$

$9(AB)^2-27AB+20-9(AB)^2+27A-20=0$

Et finalement pour u j'ai fait :

$(u-3)^3+7=0 \Leftrightarrow u-3=\sqrt[3]-7 \Leftrightarrow u=\sqrt[3]-7+3$

J'ai oublié de vous dire que le but du sujet est d'établir la formule suivante :

$\sqrt[3]cos(\frac{2\pi}{7})+\sqrt[3]cos(\frac{4\pi}{7})+\sqrt[3]cos(\frac{8\pi}{7})=\sqrt[3]\frac{5-3\sqrt[3]7}{2}$

Zebulor

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Re : Racines de l'équation

@Cesarreto : étonnante formule. Mystère des nombres.
Je serais curieux de voir ce que çà donne avec des racines cubiques de cosinus supplémentaires.
J'en vois encore de plus complexes sur internet avec les cosinus...
Sinon une remarque :
$z^3+\frac{1}{z^3} +z^2+\frac{1}{z^2}+z+\frac{1}{z}+1$ était déjà une somme géométrique tout comme celle ci $z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1$ en tant que multiple de la précédente..

Dernière modification par Zebulor (29-10-2019 19:31:15)