Racines de l'équation

Cesaratto · 26-10-2019 20:40:25

Bonsoir,

J'ai un doute sur une question qui est la suivante :

Soit $z \in \mathbb C^*$. En posant $t=z+\frac{1}{z}$, exprimer $z^{2}+\frac{1}{z^2}$ et $z^{3}+\frac{1}{z^3}$ en fonction de $t$.

D'abord j'ai fais $t^2=(z+\frac{1}{z})^2$
Qui me donne : $t^2=z^2+2+\frac{1}{z^2} \iff t^2-2=z^2+\frac{1}{z^2}$

Ensuite j'ai fais $t^3=(z+\frac{1}{z})^3$
Qui me donne : $t^3=z^3+3z+\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3} \iff t^3=z^3+3(z+\frac{1}{z})+\frac{1}{z^3} \iff t^3=z^3+3t+\frac{1}{z^3} \iff t^3-3t=z^3+\frac{1}{z^3}$

J'aimerais savoir si c'est ça le résultat.

Ensuite il y a une 2eme question qui me bloque qui est :

Déduire de la question precedente que $2\cos(\frac{2\pi}{7})$,$2\cos(\frac{4\pi}{7})$,$2\cos(\frac{8\pi}{7})$ sont les racines de l'équation $t^3+t^2-2t-1=0$

J'ai commencé par remplacer $t^3=z^3+3t+\frac{1}{z^3}$, $t^2=z^2+2+\frac{1}{z^2}$ et $t=z+\frac{1}{z}$ puis j'ai développé et ça me donne :

$z^3+\frac{1}{z^3} +z^2+\frac{1}{z^2}+z+\frac{1}{z}+1=0$

La je vois pas quoi faire...

Si c'est possible d'avoir votre aide :)

Zebulor · 26-10-2019 21:06:11

Bonsoir Cesarreto,
pour commencer...tout me paraît bon dans ce que tu as écrit...
$z^3+\frac{1}{z^3} +z^2+\frac{1}{z^2}+z+\frac{1}{z}+1=0$. Cette équation là a bien un sens car $z$ n'est pas nul. On peut en chercher une équation équivalente par exemple : je la multiplierais bien par $z^3$ ($z$ non nul bien sur), ce qui te donne une somme plus familière...
Tu reviens ensuite à $t$.. et c'est fini.

Tournicotons.

Dernière modification par Zebulor (26-10-2019 21:44:21)

Cesaratto · 26-10-2019 21:45:05

Bonsoir,

J'ai multiplié par $z^3$ et j'obtient $z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$ si je dit pas de connerie c'est une suite géométrique

La je pourrais faire $\sum_{k=0}^6 z^k = 0$

qui va me donner $z^7=1$ <==> $z=e^\frac{2ik\pi}{7}$

Dernière modification par Cesaratto (26-10-2019 21:45:34)

Zebulor · 26-10-2019 21:46:37

Tout à fait avec les valeurs de $k$ adéquates

Cesaratto · 26-10-2019 22:07:51

$0\leq k \leq6$

Mais quand vous dite de revenir a t c'est de remplacer dans t, $t^2$ et $t^3$ les z par $e^\frac{2ik\pi}{7}$

Zebulor · 27-10-2019 05:50:59

Bonjour Cesaratto,
Pour les valeurs de $k$ c'est presque çà.
Il y en a autant que la puissance du terme de plus haut degré de l'équation polynômiale de ton post 3, soit 6 valeurs. Ce sont celles qui te donnent la mesure de l'angle principal $\frac {2k\pi}{7}$
Et $z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0$ <==> $\frac {z^7-1}{z-1}=0$ <==> $z_k=e^{\frac {2ki\pi}{7}}$, où $1\leq k \leq6$ ce qui exclut $z_0=1$ à cause du dénominateur.
Par ailleurs tu peux voir d'emblée que z=1 n'est pas solution de l'équation polynômiale...

Quand j'écris "Revenir à $t$" c'est : revenir à sa définition en fonction de $z$. Avec en arrière pensée l'intitulé de la seconde question avec les cosinus.

Une précision accessoire : Tout nombre $z_k$ tel $k$ différent de 0 ou n'appartenant pas à $7\mathbb Z$ est en fait solution. Mais seul l'ensemble $k \in \{1;2;3;4;5;6 \}$ correspond aux angles principaux compris dans l'intervalle $]0;2\pi]$. Par exemple [tex]e^{\frac {2i\pi}{7}}=e^{\frac {16i\pi}{7}}[/tex] : le premier terme correspond à k=1, le second à k=8. Mais seul $\frac {2\pi}{7}$ est dans $]0;2\pi]$

Dernière modification par Zebulor (29-10-2019 09:45:26)

Cesaratto · 27-10-2019 13:25:26

Bonjour,

Je suis parti de t et j'ai fais $t=e^\frac{i2\pi k}{7} + \frac{1}{e^\frac{i2\pi k}{7}}$ j'ai posé que $\theta=e^\frac{i2\pi k}{7}$

J'ai ensuite fais $t=e^i\theta + e^-i\theta$ j'ai vue qu'il manquait un deux pour avoir la formule de d'Euler alors j'ai divisé par 2 qui me donne $\frac{t}{2}=\frac{e^i\theta + e^-i\theta}{2}$ <==> $t=2cos\theta$ j'obtient bien ma première racine

Je fais la même chose pour $t^2=(e^\frac{i2\pi k}{7} + \frac{1}{e^\frac{i2\pi k}{7}})^2$ qui me donne $t^2-2=2cos\theta$ ici $\theta=\frac{4\pi k}{7}$

Et enfin pour $t^3=(e^\frac{i2\pi k}{7} + 3t + \frac{1}{e^\frac{i2\pi k}{7}})^3$ <==> $t^3-3t=2cos(\frac{6\pi k}{7})$ c'est la que je me dit si il a pas une erreur dans le sujet car je voit pas comment on obtient le 8 car $(e^\frac{2\pi k}{7})^3$ me donne $e^\frac{6\pi k}{7}$ :/

Zebulor · 27-10-2019 14:07:36

rebonjour,
l'expression de $t$ en fonction de $\theta$ est bonne.. j'essaie de me plonger dans la suite de ce que tu as fait...

Zebulor · 27-10-2019 14:55:37

Une erreur dans le sujet ? Madre mia ! Je pense qu'avec le petit bijou de technologie qu'est ta calculatrice tu peux facilement le savoir... Mais elles le sont bien parmi une infinité dénombrable.. Et qui sait y en aurait il encore d'autres ?

Il faut bien voir que les variables $t_k$ , $z_k$ et $\theta_k$ sont liées par des égalités.

Si on récapitule :
Tu as montré :
1) que résoudre l'équation $(E_1)$ d'inconnue $z$ : $z^3+\frac{1}{z^3} +z^2+\frac{1}{z^2}+z+\frac{1}{z}+1=0$ revient à résoudre l'équation d'inconnue en $t$
$(E_2)$ : $t^3+t^2-2t-1=0$. compte tenu de la définition de $t$ de l'énoncé. C'est ton post #1,

2) que les solutions de $(E_1)$ s'écrivent $z_k=e^{2ik\pi/7}$, k entier compris entre 1 et 6. (post #3).

$(E_1)$ et $(E_2)$ sont donc deux équations parallèles : à chaque racine $z_k$ de la première équation en $z$ correspond une racine $t_k$ de la deuxième équation en $t$. Mais à chaque racine $t_k$ de $(E_2)$ correspond aussi une racine en $cos(\theta_k)$ $(E_2)$ puisque $t_k=2cos(\theta_k)$

Il reste donc à substituer $t_k$ par $cos(\theta_k)$ dans $(E_2)$, pour chaque valeur de $k$ comprise entre 1 et 6.

Il y a 6 racines de $E_2$ correspondant aux angles principaux que sont $\theta_1$,$\theta_2$,$\theta_3$,$\theta_4$,$\theta_5$ et $\theta_6$

Parmi celles ci , $t_1$,$t_2$ et $t_4$ en font partie. Ce sont $2\cos(\frac{2\pi}{7})$,$2\cos(\frac{4\pi}{7})$,$2\cos(\frac{8\pi}{7})$

Dernière modification par Zebulor (27-10-2019 16:01:26)

Cesaratto · 27-10-2019 15:50:31

J'arrive pas a tout comprendre, pourquoi vous posez $t_k=z_k+\frac {1}{z_k}=2cos(\theta_k)$ normalement c'est pas plutôt $t^k=z^k+\frac {1}{z^k}=2cos(\theta^k)$ qu'on devrait poser ou alors je dit une connerie.

Ce qui me dérange aussi c'est l’écriture $t_k$, $z_k$ et je vois pas comment on peut avoir 6 racines dans $E_2$.

Je suis me suis un peut embrouillé ^^'

Zebulor · 27-10-2019 16:05:00

Je reviens sur ce que tu as écrit, très justement d'alleurs :

Cesaratto a écrit :

Je suis parti de t et j'ai fais $t=e^\frac{i2\pi k}{7} + \frac{1}{e^\frac{i2\pi k}{7}}$ j'ai posé que $\theta=e^\frac{i2\pi k}{7}$

A y regarder de près $\frac{i2\pi}{7}$ est un nombre constant. Mais $e^\frac{i2\pi k}{7}$ dépend de [tex]k[/tex] de même que $\frac{i2\pi k}{7}$.
Tu peux donc mettre un indice sur $t$ et le singulariser en le nommant $t_k$. Il dépend de $k$. C'est une fonction de $k$ qu'on pourrait aussi écrire $t(k)$. Il nen vas de même pour $z$ et $cos(\theta)$.

Les solutions des 2 équations précédentes $t$, $cos(\theta)$ et $z$ sont des valeurs discrètes qui dépendent de $k$. D'Où viennent les exposants que tu as mis sur les variables ?

Vérifies avec ta calculatrice si $2cos(\frac {6\pi}{7})$ est racine de l'équation en $t$, ainsi que $2cos(\frac {-26\pi}{7})$, $2cos(\frac {10\pi}{7})$, $2cos(\frac {12\pi}{7})$

Dernière modification par Zebulor (27-10-2019 16:51:42)

Cesaratto · 27-10-2019 17:02:10

Ha d'accord je comprend mieux ! Merci beaucoup pour votre aide ! :)

Zebulor · 27-10-2019 17:14:11

Bonsoir,
On peut en fait voir que la somme $z^3+\frac{1}{z^3} +z^2+\frac{1}{z^2}+z+\frac{1}{z}+1$ a une propriété bien spécifique.

Dernière modification par Zebulor (27-10-2019 19:36:32)

Cesaratto · 27-10-2019 18:52:34

Je n'ai pas compris vous voulez dire quoi par remplacer par des puissance de z ?
Par $z^3, z^4$ ?

Cesaratto · 27-10-2019 19:11:18

Désolé de vous déranger encore mais je rencontre un autre problème ^^'

La question est "On pose $\alpha = 2\cos(\frac{2\pi}{7}), \beta = 2\cos(\frac{4\pi}{7}), \delta = 2\cos(\frac{8\pi}{7})$

a) Determiner les valeurs de $\alpha+\beta+\delta$, $\alpha\beta+\beta\delta$ , $\alpha\beta\delta$

Pour $\alpha+\beta+\delta$ j'ai fais :

$2(cos(\frac{2\pi}{7})+cos(\frac{\frac{4\pi}{7}+\frac{8\pi}{7}}{2})cos(\frac{\frac{4\pi}{7}-\frac{8\pi}{7}}{2}))$

$2(cos(\frac{2\pi}{7})(cos(\frac{5\pi}{7})cos(\frac{-2\pi}{7}))$

Comme on sais que cos(-x)=cos(x) donc

$2(cos(\frac{2\pi}{7})(1+2cos(\frac{5\pi}{7}))$

La je sais plus ou aller

Dernière modification par Cesaratto (27-10-2019 19:20:21)

Zebulor · 27-10-2019 19:32:29

Bonsoir,
Je voulais écrire $z^3+\frac{1}{z^3} +z^2+\frac{1}{z^2}+z+\frac{1}{z}+1=z^3+z^{-3}+z^2+z^{-2}+z+z^{-1}+1$...

Pour la suite, je ne sais pas si j'aurai le temps de m'en occuper ce soir...peut être que d'autres voudront prendre le relais.

Je regarde juste ton post en vitesse. Es tu sur qu'on a pas déjà calculé ces nombres?

PS : J ai modifié par mégarde mon post #13 prédécent..

Dernière modification par Zebulor (27-10-2019 19:44:18)

Cesaratto · 27-10-2019 20:30:45

Bonsoir,

Non on a pas fais ces calculs c'est la suite de mon sujet.

Zebulor · 27-10-2019 20:33:43

re,
pas eu le temps de méditer sur la suite. Il se pourrait bien qu'on se serve de ce qu'on sait déjà.. ces nombres là sont racines de l'équation en [tex]t[/tex] : $(E_2)$

Cesaratto a écrit :

La question est "On pose $\alpha = 2\cos(\frac{2\pi}{7}), \beta = 2\cos(\frac{4\pi}{7}), \delta = 2\cos(\frac{8\pi}{7})$
a) Determiner les valeurs de $\alpha+\beta+\delta$, $\alpha\beta+\beta\delta$ , $\alpha\beta\delta$
Pour $\alpha+\beta+\delta$ j'ai fais :
$2(cos(\frac{2\pi}{7})+cos(\frac{\frac{4\pi}{7}+\frac{8\pi}{7}}{2})cos(\frac{\frac{4\pi}{7}-\frac{8\pi}{7}}{2}))$
$2(cos(\frac{2\pi}{7})(cos(\frac{5\pi}{7})cos(\frac{-2\pi}{7}))$

ou bien $2(cos(\frac{2\pi}{7})+cos(\frac{6\pi}{7})cos(\frac{-2\pi}{7}))$ ? Indépendamment de la justesse des calculs je ne sais pas si cette piste là peut aboutir..

Pour la somme $\alpha+\beta+\delta$ en tout cas une piste -il y en a peut être de meilleures car c'est sans conviction - est de passer par les exponentielles complexes ... c'est une somme géométrique.

Cette question ressemble vaguement à une autre question que tu as posé sur le forum avec les carrés et cubes de somme..

Bien qu'il pleuve je sèche lamentablement.

Dernière modification par Zebulor (28-10-2019 10:19:33)

Cesaratto · 28-10-2019 12:32:13

Vous voulez parler de la question ou il fallait établir l'égalité de $(a+b+c)^3$

Zebulor · 28-10-2019 12:36:12

Rebonjour,
c'est çà. J'ai l'impression que cette question calculatoire fait partie d'un ensemble plus vaste de questions et/ou résultats

Cesaratto · 28-10-2019 12:44:36

Notre professeur nous a envoyé un indice qui est le suivant :

Soit P(x)= $ax^3+bx^2+cx+d$
Soient $x_1,x_2,x_3$ les racines du polynômes P
Alors :

$\begin{cases}
& \text{ } x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} \\
& \text{ } x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 = \frac{c}{a} \\
& \text{ } x_1x_2x_3 = \frac{-d}{a}
\end{cases}$

Ce que j'ai fais aussi :

$(t-\alpha)(t-\beta)(t-\delta)= t^3-(\alpha+\beta+\delta)^2+(\alpha\beta +\beta\delta +\alpha\delta)t - \alpha\beta\delta$

Nous nos racines sont $t_1,t_2$ et $t_4$
Par identification a=1, $b=(\alpha+\beta+\delta)$, $c=(\alpha\beta +\beta\delta +\alpha\delta)$ et $d=(\alpha\beta\delta)$

si je remplace sa va me donner :

$\begin{cases}
& \text{ } t_1 + t_2 + t_4 = -(\alpha+\beta+\delta) \\
& \text{ } t_1t_2+t_2t_4+t_1t_4 = \alpha\beta +\beta\delta +\alpha\delta\\
& \text{ } t_1t_2t_3 = -\alpha\beta\delta
\end{cases}$

Après je vois pas trop ce qu'il faut faire.

Dernière modification par Cesaratto (28-10-2019 13:34:06)

Zebulor · 28-10-2019 13:13:21

Ah oui ça fait pas mal d'indices...
avant toute chose il me semblait que par définition : $t_1=\alpha$, $t_2=\beta$ et $t_4=\delta$

Cesaratto · 28-10-2019 13:18:14

Oui c'est bien ça mais après je vois pas ou sa peut nous mener cette histoire

Zebulor · 28-10-2019 13:27:00

Au résultat du calcul de la somme des racines par exemple ?

Cesaratto · 28-10-2019 13:40:39

Donc la valeur de $\alpha+\beta+\delta= -2\cos(\frac{2\pi}{7})- 2\cos(\frac{4\pi}{7})-2\cos(\frac{8\pi}{7})$ faut que je développe $-2\cos(\frac{2\pi}{7})- 2\cos(\frac{4\pi}{7})-2\cos(\frac{8\pi}{7})$ ?

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#1 26-10-2019 20:40:25

Racines de l'équation

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#3 26-10-2019 21:45:05

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#4 26-10-2019 21:46:37

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#7 27-10-2019 13:25:26

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#8 27-10-2019 14:07:36

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#9 27-10-2019 14:55:37

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