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Cesaratto

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Établir l'égalité (a+b+c)^3

Bonjour,

Dans une question on me demande d'établir l'égalité :

$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+ac+bc)-3abc$ quelque soient les réels a,b,c.

J'ai vue sur internet que je pouvais utiliser le multinome de Newton, mais on a pas vue sa en cours. Il y aurait pas un autre moyen pour résoudre le problème ?

Merci pour votre aide.

Dernière modification par Cesaratto (26-10-2019 13:22:32)

Maenwe

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Re : Établir l'égalité (a+b+c)^3

Bonjour,

En développant les calculs astucieusement ça vient tout seul ;)
Le point clef est de garder dans le développement de tes calculs un terme ayant pour facteur $a+b+c$, pourquoi ? Parce que c'est le plus simple à avoir étant donné que l'on part de l'expression $(a+b+c)^{3}$. Je commence les calculs et je te laisse chercher la suite :

$(a+b+c)^{3} = (a+b+c)(a+b+c)^{2} = (a+b+c)(a^{2} + 2a(b+c) + (b+c)^{2}) \\
= (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2a(b+c) + 2bc) = (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 2(a+b+c)(a(b+c)+bc)$

A partir de là les calculs sont un peu à rallonge mais ce n'est pas infaisable...

Dernière modification par Maenwe (27-10-2019 19:51:06)

Cesaratto

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Re : Établir l'égalité (a+b+c)^3

Bonsoir,

Je ne vois pas comment vous êtes passer de la 1er ligne a 2eme ligne comment vous avez mit le 2 en facteur de (a+b+c)

$(a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2a(b+c) + 2bc) = (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 2(a+b+c)(a(b+c)+2bc)$

Cesaratto

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Re : Établir l'égalité (a+b+c)^3

Re

je suis parti de cette ligne :

$(a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2a(b+c) + 2bc)$

Au final je trouve $(a^3+b^3+c^3)+3(ab^2+ac^2+a^2b+bc^2+a^2c+b^2c)+6abc$

Merci pour votre aide :)

Dernière modification par Cesaratto (26-10-2019 20:24:30)

Maenwe

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Re : Établir l'égalité (a+b+c)^3

Bonsoir,

De rien :)
La dernière égalité que j'avais écrite était fausse, j'avais oublié un des 2 que je voulais factoriser, du coup j'ai modifié mon post initial en conséquence.
Je suis passé de la 1ère à la deuxième ligne en sautant une ligne ! Trêve de plaisanterie, j'ai tout bêtement développé $(b+c)^{2}$ et réorganisé les termes.

Pour continuer les calculs il y a une petite astuce à voir, c'est que tu remarques que l'on a un 3 devant (a+b+c) dans l'expression finale, il faut donc à un moment ou à un autre le faire apparaître, et on peut le faire apparaître "artificiellement" en ajoutant et soustrayant un terme.

Tout d'abord tu remarqueras que le terme le plus à gauche : $2(a+b+c)(a(b+c) + bc)$ ressemble énormément à l'un des termes que l'on veut dans la formule finale, je le réécris pour que tu le vois : $2(a+b+c)(a(b+c) + bc) = 2(a+b+c)(ab + ac + bc)$.
Et maintenant à ton avis quel terme faut il ajouter et soustraire pour continuer les calculs ?

Dernière modification par Maenwe (28-10-2019 15:28:45)