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PRKM

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Execice d'intégrale double

Bonjour à tous.

J'ai un souci avec l'exercice la ci:
$\int\!\int_D xy\; dx\;dy$ avec D=$\{ x^2=y,\quad y^2=x \}$

Merci d'avance.

Roro

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Re : Execice d'intégrale double

Bonjour,

Ta question n'a pas de sens puisque tu demandes comment intégrer une 2-forme (voir $dxdy$) sur un domaine de dimension $1$ (l'ensemble $D$ est la réunion ou l'intersection ?) de deux courbes.

Il faut donc que tu précises l'énoncé exact : soit tu changes $dxdy$, soit tu changes $D$.

Roro.

PRKM

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Re : Execice d'intégrale double

OUi je vois bien, évidemment j'avais pensé à cela. Finalement j'ai retrouvé le vrai sujet et il s'agit d'integrer sur le domaine délimité par ces deux courbes. Pour cela il n'y a pas de problème.
Merci pour la peine donnée.

Roro

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Re : Execice d'intégrale double

Bonsoir,

C'est donc plus clair.

Je te propose deux méthodes (je ne détaille pas totalement mais je donne les idées). Je note $I$ l'intégrale que tu veux calculer.

Méthode 1 - calcul direct

Tu fais une intégration par tranches en écrivant
$$I = \int_0^1 \Big( \int_{x^2}^{\sqrt x} xy\, \mathrm dy \Big) \mathrm dx$$
puis tu évalues l'intégrale à l'intérieure (qui dépend de $x$) :
$$I = \int_0^1 \Big( \frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{2} \Big) \mathrm dx$$
et enfin l'intégrale de la seule variable $x$ :
$$I=\frac{1}{12}.$$

Méthode 2 - formule de Stokes

Tu utilises la formule de Stokes suivante ($C$ est le bord du domaine $D$)
$$\int_D \big( \frac{\partial b}{\partial x} - \frac{\partial a}{\partial y} \big) \mathrm dx\mathrm dy = \int_C (a\mathrm dx+b\mathrm dy)$$
avec par exemple $a(x,y)=0$ et $b(x,y)=x^2y/2$ (il y a plein de choix possibles).
Tu te ramènes donc à une intégrale sur une courbe qui est ici composée de 2 morceaux $C_1 = \{(t,t^2), t\in (0,1)\}$ et $C_2 = \{(t^2,t), t\in (0,1)\}$ (Attention à l'orientation...) :
$$I = \int_0^1 t^5 \mathrm dt + \int_1^0 \frac{1}{2}t^5 \mathrm dt$$
On retrouve
$$I=\frac{1}{12}.$$

Roro.