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Luka

Invité

Espace vectoriel et dimension finie

Bonjour,

Je voulais demander comment pouvoir démontrer le théorème de la base extraite.
Merci.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Espace vectoriel et dimension finie

Bonjour,

  Si $(g_1,\dots,g_p)$ est une famille génératrice de $E$, tu fabriques par récurrence sur $q\leq p$ une partie
$I_q$ de $\{1,\dots,q\}$ telle que, pour chaque $q$, la famille $\{g_{i};\ i\in I_q\}$ est libre, et
l'espace vectorier engendré par cette famille est le même espace vectoriel que l'espace vectoriel engendré par $(g_1,\dots,g_q)$.

Pour l'hérédité, tu regardes si $g_{q+1}$ est dans l'espace vectoriel engendré par  $\{g_{i};\ i\in I_q\}$. Si oui, tu poses $I_{q+1}=I_q$. Sinon, tu poses $I_{q+1}=I_q\cup\{q+1\}$.

F.

Maenwe

Membre confirmé

Inscription : 06-09-2019

Messages : 409

Re : Espace vectoriel et dimension finie

Bonsoir,

Je passe juste pour proposer une autre démonstration :
Je reprends les même notations que Fred : en particulier la définition de $I_{q}$.
Soit $L = \{Card(I_{q})|0<q<p+1\}$.
L est non vide : $1 \in L$. Et est majoré : $\forall x \in L, x<p+1$.
Donc L admet un maximum lui appartenant (car c'est un ensemble discret), que l'on note $m$.
Et plus important puisque $m \in L$, il existe une famille libre ("maximale") à m éléments que l'on note $B = (e_{1},..,e_{m})$, avec $\forall k \in [|1,m|], \exists n \in [|1,p|], e_{k}=g_{n}$.

Nécessairement L est une famille génératrice : en effet, si il existe $x \in E$ tel que $x$ n'est pas une combinaison linéaire des éléments de la famille B, alors la famille (x,e_{1},..,e_{m}) est une famille libre, or elle possède m+1 éléments c'est absurde. Donc $x$ est combinaison linéaire des élément de la famille B.
Et puisque L est une famille libre, c'est donc une base de E.

Cordialement