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Cédrix

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les graphes en terminale

Bonjour,
voici le théorème d'Euler que je lis ainsi dans plusieurs ouvrages :
" Soit G un graphe connexe.
G admet une chaîne eulérienne si et seulement si G admet exactement 2 sommets de degré impair.
G admet un cycle eulérien si et seulement si G ne possède que des sommets de degré pair."
Or si G est un cycle eulérien c'est-à-dire une chaîne eulérienne fermée alors à plus forte raison G est une chaîne eulérienne mais d'après la première équivalence G admettrait 2 sommets de degré impair ce qui est en contradiction avec la deuxième équivalence.
DONC, pour que le théorème soit juste, je pense qu'il faudrait l'écrire ainsi :
" Soit G un graphe connexe.
G admet une chaîne eulérienne NON FERMEE si et seulement si G admet exactement 2 sommets de degré impair.
G admet un cycle eulérien si et seulement si G ne possède que des sommets de degré pair."
Pourriez-vous confirmer ?
Merci beaucoup,
C.

Fred

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Re : les graphes en terminale

Bonjour,

  Je ne sais pas quel(s) livre(s) tu as consulté, mais en général je l'énonce sous la forme suivante :
G admet une chaîne eulérienne si et seulement si G admet au plus 2 sommets de degré impair.

F.

Cédrix

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Re : les graphes en terminale

Bonjour,
la propriété fausse est marquée telle quelle dans le livre de maths programme 2012 de terminale ES collection Indice chez Bordas ainsi que dans livre Odyssée Terminale ES chez Hatier Edition 2012.
Merci de votre confirmation car je découvre la théorie des graphes et n'ai pas votre expérience.
Votre propriété sous-entend qu'il n'existe pas de graphe connexe avec 1 seul sommet impair, n'est-ce pas ?
Merci !
C.

Fred

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Re : les graphes en terminale

Oui, car la somme des degrés d'un graphe est un nombre pair (c'est deux fois le nombre d'arêtes).

F.