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bea

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Système d'équations : trouver les 2 dimensions d'un rectangle [Résolu]

Bonjour,

Pouvez vous m'aider à finir de résoudre ce problème qui hante mes neurones depuis le début des vacances. J'ai un grand problème avec les équations !!! Un grand merci d'avance à celui ou celle qui m'aidera.

voici l'énoncé du problème :
Un rectangle a 130 m pour périmètre.Si on diminue sa longueur de 1 m et on augmente sa largueur de 1 m, l'aire augmentera de 14 m2.
Trouver les deux dimensions du rectangle.
(on trouvera, au préalable, la différence des deux dimensions).

soit x la longueur du rectangle et y sa largeur.

le rectangle a pour périmètre 130m, donc 2x+2y=130
"si on diminue sa longueur de 1m", (x-1) "et si on augmente sa largeur de 1m" (y+1), l'aire augmente de 14m².

l'ancienne aire est xy et la nouvelle (x-1)(y+1) fait 14m² de plus donc:

(x-1)(y+1)=xy+14

le système à résoudre serait alors :

2x+2y=130 ou 2(xy)=130
(x-1)(y+1)=xy+14

Merci de me dire si je suis dans le juste et si c'est le cas de m'aider à résoudre ces équations.

Bonne journée.

Béa

yoshi

Modo Ferox

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Re : Système d'équations : trouver les 2 dimensions d'un rectangle [Résolu]

Bonjour Béea,

Et bienvenue sur BibMath...
Globalement tu es dans le vrai, mais il y a quand même une grosse bêtise au niveau de la distributivité pour la factorisation...

En effet,
2x+ 2y = 2(x + y) et non 2xy
Je vais simplifier par 2 les deux membres de la 1ere équation.
Tes équations sont donc :
[tex]\left{x+y = 65\\(x-1)(y+1)=xy+14[/tex]

Soit encore :
[tex]\left{x+y = 65\\xy+x-y-1=xy+14[/tex]

Et enfin :
[tex]\left{x+y = 65\\x-y= 15[/tex]

A toi de jouer...

@+

galdinx

Modo gentil

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Re : Système d'équations : trouver les 2 dimensions d'un rectangle [Résolu]

Bonjour,

tu es dans le juste dans presque tout ton raisonnement, à la petite erreur près que 2x+2y n'est pas égal a 2xy mais à 2(x+y)

Tu obtiens ainsi, pour la première équation 2(x+y)=130 soit x+y = 65.

En développant la 2eme équation tu obtiens :

xy+x-y-1=xy+14

soit, en la simplifiant on obtient x-y = 15

Il ne te reste donc plus qu'a résoudre le sytème :

x+y=65
x-y=15

N'hézite pas à demander des précisions s'il y a quelque chose que tu n'a pas compris.

A++

edit : grillé par Yoshi ><

bea

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Re : Système d'équations : trouver les 2 dimensions d'un rectangle [Résolu]

Merci Yoshi et merci à toi Galdinx pour la rapidité de vos réponses. Toutefois reste à comprendre (toujours pour mes petits neurones !)comment résoudre ces équations.

Sachant que le périmètre c'est :   P=2x+2y =130
et que l'aire c'est : (X) x (Y)

donc :
. si x+y=65
. x=65-y

et si :
. x-y=15
.y=15+x

je nage... je me noie... je ne crois pas avoir tout compris !!!!

Merci d'avance pour vos réponses

Béa

yoshi

Modo Ferox

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Re : Système d'équations : trouver les 2 dimensions d'un rectangle [Résolu]

Bonjour,

Tss ! Tss ! Bea, tu ne sais donc pas résoudre un système de deux équations à deux inconnues ? C'est dans ton cours pourtant...

Enfin bref...
2 méthodes pour ce faire: méthode d'addition (ou combinaison), méthode de subsitution...
Tu es partie (et pas arrivée...) avec  cette méthode.
"Retour sur images"...
De la première équation, tu as tiré x = 35 - y, c'est bien ! Il te suffit maintenant de remplacer x par 65 - y dans la 2e équation :
(65 - y) - y = 15.

En l'occurrence, ici la méthode d'addition s'imposait au 1er coup d'oeil.. Cette méthode consiste à obtenir un nombre opposé d'x (ou de y) dans les 2 équations, puis d'additionner membre à membre, pour "éliminer" x (ou y)... ok ?
Ici, que vois-je ?
Ô joie  sans mélange ! Je vois
x + y =65
x - y = 15
Si j'additionne membre à membre, qu'obtiens-je ? 2x = 80...
Elle est pas belle la vie ?

@+

bea

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Re : Système d'équations : trouver les 2 dimensions d'un rectangle [Résolu]

merci yoshi et désolée pour mon ignorance...!!!

alors si j'ai tout compris voilà ce que je trouve

puisque (effectivement)  x c'est 65-y  :

(65-y)-y=15
alors
. 65=15+2y
. 65-15=2y
. 50=2y
. 25=y

et pour x
. le résultat serait 40

donc le périmètre serait (2x40) + (2x25)
soit : 80 + 50=130 et son aire est de 1000 m² (40x25)
et effectivement si on augmente de 1m x et diminue y de 1, on obtient :
. 39 x 26 =1014m²

Merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii beaucoup de ton aide je suis meilleur en anglais ou philo ou histoire alors à charge de revanche.

Très bonne fin de journée et merci encore

Béa