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nbsi

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Limite

Bonjour besoin d'aide

Calculer la limite de $l_1= \frac {\cos^{n}{x}-n \cos {x}+n-1}{\sin^4 {x}}$ et $l_2= \lim_{x \rightarrow 0} (\frac {\sin {x}}{x})^{\frac{-1}{x^2}}$
$l_1=?? $
$l_2=e^{\frac {-1}{6}} $
Aidez moi avec $l_1$

Zebulor

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Re : Limite

Bonjour,

Ok pour [tex]l_2[/tex].

je suppose que pour [tex]l_1[/tex] il s'agit il de :

$l_1= \lim\limits_{x \rightarrow 0}  \frac {\cos^{n}{x}-n \cos {x}+n-1}{\sin^4 {x}}$

Il faut être précis et rigoureux tel un chirurgien qui va opérer un grand malade... Qu'as tu essayé ?

Je propose un DL4 des fonctions [tex]x \to cos(x)[/tex] puis [tex]x \to cos^n(x)[/tex]. Idem pour [tex]x \to n*cos(x)[/tex] ... si tu y arrives, alors le plus dur est fait.
Car la suite du travail n'est plus qu'un assemblage de morceaux et le malade va survivre : réductions, simplifications...

Dernière modification par Zebulor (03-07-2019 16:45:34)

nbsi

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Re : Limite

Le développement limité de $\cos^n (x) $ est compliqué. Voici pour les autres
$\cos (x)\approx 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+ R$
$n\cos(x) \approx (n-\frac{nx^2}{2}+\frac{nx^4}{24}+R$
Pour $\cos^n (x)$  je trouve ce qui est en bas mais je doute qu'il faut le laisser sur cette forme et c'est un peu compliqué.
$\cos^n(x) \approx (1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+R )^n$
Et pour le dénominateur
$\sin^4 (x) \approx x^4+R$

nbsi

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Re : Limite

va survivre : réductions, simplifications...

Même en limitant sur cette forme je trouve des forme indéterminée

Zebulor

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Re : Limite

Re,

Le développement limité de c est compliqué
$\cos^n(x) \approx (1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+R )^n$

Oui c'est là qu'est la principale difficulté. Tes DL me paraissent bons. Tes R sont de la forme o([tex]x^4[/tex]) pour cos(x) ou n*o([tex]x^4[/tex]) pour n*cos(x)
L'idée pour ce DL de la puissance nième de cosinus est de passer par l'exponentielle :
$\cos^n(x)=exp(n*ln(cos(x))$. De là.. DL4 de la forme ln(1+h) où h tend vers 0..
Puis tu repasses à l'exponentielle..et de nouveau un DL s'avère nécessaire

La limite que tu cherches est une fonction de [tex]n[/tex] plutôt sympathique

Dernière modification par Zebulor (04-07-2019 13:00:20)

nbsi

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Re : Limite

Merci beaucoup ta méthode et et la règle d'hôspital m'ont donner la même réponse $\frac {n (n-1)}{8}$ mais vaut mieux par le développement limité.