Intégrale

Tokens · 31-03-2019 16:04:07

Bonjour,
J'ai un exercice sur les intégrales et je n'arrive pas à le résoudre, il faut prouver si c'est vrai ou faux :
On a une fonction F sur I = [0;+inf[, F(x) =intégrale de 0 à x de 1/(racine(1+t^3)) dt
Il faut démontrer si F(x) est croissante, ou non (J'ai trouvé qu'elle était croissante)
- Si pour tout x sur I F(x)<=x (J'ai pas réussi)
- Si pour tout x sur I F(x)>= x/racine de((1+x^3) (J'ai pas réussi)
- Si F(2) >= 2/3 (J'ai pas réussi)

Merci!

Zebulor · 31-03-2019 16:40:08

Bonjour,
la fraction qu'on peut appeler [tex]f : t ---> \frac {{1}}{\sqrt{1+t^3}}[/tex] est bien définie et continue sur I. L'intégrale a donc bien un sens..F est en effet croissante, même strictement sur I.

f est aussi positive sur I. Cette intégrale peut donc faire penser à l'aire d'une surface.

1)Tu peux alors par exemple majorer f sur [0;x] de façon à en déduire la première inégalité..
2)Cette fois ci tu peux essayer de la minorer...
3) je n'ai pas encore regardé..

Dernière modification par Zebulor (31-03-2019 16:54:04)

Tokens · 31-03-2019 16:53:54

Il faut donc faire :
0<= t <= x
...
1>= f(x), c'est bien ça ?

Zebulor · 31-03-2019 16:54:42

Oui. plus précisément pour tout t compris entre 0 et x, [tex]f(t)<=1[/tex]. x est la borne supérieure de l'intégrale, il faut donc utiliser la variable t : f(t)<=1

Dernière modification par Zebulor (31-03-2019 17:00:24)

Tokens · 31-03-2019 16:57:15

Et comment on en déduit que x>= F(x) ?

Zebulor · 31-03-2019 16:59:49

dans le cours tu as du voir que si f(t)<=g(t) pour tout t compris entre a et b, alors l'intégrale de f sur le segment [a;b] est inférieure ou égale à l'intégrale de g sur le segment [a;b]

Dernière modification par Zebulor (31-03-2019 17:04:31)

Tokens · 31-03-2019 17:06:17

D'accord merci!
Pour la 2, on a donc intégrale 0àx f(x) dx = intégrale 0 à 1 f(x) dx + intégrale 1àx f(x) dx
D'après 1), on a f(x) >= g(x) sur [0;1], comme F(x) croissante sur [0; +inf[
On a donc F(x) >= g(x)

Et pour la 3) c'est une application c'est bien ça ?

Zebulor · 31-03-2019 17:12:00

je vais lire en détail ton post #7. Pour le moment juste une chose : " intégrale 0àx f(x) dx" n'est pas correct car la borne x est aussi dans l'intégrande f(x)

Par contre tu peux écrire : " intégrale 0 à x de f(t) dt". le 't' dans l'intégrande est une variable muette qui doit porter un nom différent de x

Dernière modification par Zebulor (31-03-2019 17:12:47)

Zebulor · 31-03-2019 17:19:03

pour la 2), je ne sais pas quelle est ta fonction g... J'ai l'impression que tu compliques..
Le plus simple est de suivre le même schéma que pour le 1).

Quel est la valeur minimale de f sur l'intervalle [0;x] ? a partir de là tout s'enchaîne.. et tu peux de nouveau utiliser le théorème du post #6

Dernière modification par Zebulor (31-03-2019 17:20:03)

Tokens · 31-03-2019 17:20:43

J'ai oublié de définir g, je dis que g(x) = x/racine(1+x^3)

Zebulor · 31-03-2019 17:22:24

presque : sur le schéma du thèorème : g(x) = 1/racine(1+x^3) . C'est la plus petite valeur de f sur [0;x]

Dernière modification par Zebulor (31-03-2019 17:23:18)

Tokens · 31-03-2019 17:24:07

Grâce à ça j'arrive à démontrer que f(x) >= 1/racine(1+x^3) et donc g(x)
Mais comme arriver à F(x) >= x/racine(1+x^3) ?

Zebulor · 31-03-2019 17:29:02

ta variable d'intégration est toujours t

Il te suffit d'intégrer g(x) (qui est donc une constante dans cette intégrale) entre les bornes t=0 et t=x. Tu peux donc sortir cette constante (qui ne dépend donc pas de t) de cette intégrale.. puis comparer avec F(x)

Dernière modification par Zebulor (01-04-2019 06:42:04)

Tokens · 31-03-2019 17:30:37

G(x) = intégrale de 0 à x g(t) dt

On a donc G(x) = x/racine(1+x^3) ?

Zebulor · 31-03-2019 17:32:44

Oui si tu désignes par G(x) l'intégrale du minimum de la fonction f entre les bornes 0 et x...

Juste une chose tu ne peux pas appeler g(t) le nombre 1/racine(1+x^3)

Dernière modification par Zebulor (31-03-2019 17:35:10)

Tokens · 31-03-2019 17:34:55

D'accord, donc on a bien F(x) >= x/racine(1+x^3)

Pour la 3, on remplace x par 2 et on a bien F(2) >=2/3 ?

Zebulor · 31-03-2019 17:36:00

1/racine(1+x^3) est en fait le nombre Min(f(t)) pour t compris entre 0 et x. Attention à ne pas t'emmeler les pinceaux avec les variables...

Min(f(t)) désigne la valeur minimale de f pour t variant de 0 à x. Ca devient une constante (dépendante de x) qui peut donc sortir de l'intégrale quand tu intègres par rapport à t.

Dernière modification par Zebulor (31-03-2019 17:40:07)

Tokens · 31-03-2019 17:37:11

Oui en effet, je vais écrire tout ça sur feuille, merci beaucoup!

Zebulor · 31-03-2019 17:38:27

je regarde pour la 3.. là c'est le dessert !

Dernière modification par Zebulor (31-03-2019 17:42:48)

Tokens · 31-03-2019 17:44:43

La 3 est donc bonne ?

Zebulor · 31-03-2019 17:46:59

est ce que la 2 est bonne ?

Tokens · 31-03-2019 17:47:54

Je pense que oui non ? c'est ce qu'on a dit plus haut je crois

Dernière modification par Tokens (31-03-2019 17:48:13)

Zebulor · 31-03-2019 17:51:05

Je vais lever le doute : la 2 est bonne. Alors pour la 3).. je te laisse faire c'est facile...

Tokens · 31-03-2019 17:53:14

Tokens a écrit :

Pour la 3, on remplace x par 2 et on a bien F(2) >=2/3 ?

C'est bien ça ?

Zebulor · 31-03-2019 17:55:06

tout simplement... et pour la petite histoire F est croissante majorée..

Dernière modification par Zebulor (31-03-2019 18:11:12)

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