Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Rhay

Membre

Inscription : 29-12-2018

Messages : 15

Forme linéaire et Trace d' une matrice

Bonjour,
Je suis bloqué dans cet exercice
Voilà la question
Monter que pour toute A et B appartient à l'ensemble des matrices carré de taille n f

f(AB) =f(BA) avec f forme linéaire ssi f=à tr
Avec a appartient à R
Et tr la trace d'une matrice
Le sens indirecte est évident
Merci d'avance.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Forme linéaire et Trace d' une matrice

Bonjour,

Tu peux essayer d'utiliser les matrices de la base canonique de l'ensemble des matrices $\mathcal M_{n}(\mathbb K)$.
Si tu notes $E^{(ij)}$ la matrice dont le seul élément non nul est l'élément en position $i,j$ alors tu dois pouvoir montrer un truc du genre
$$E^{(ij)} E^{(pq)} = \left\{\begin{aligned} & E^{(iq)} \quad &&\text{si} \quad j=p \\ & 0 \quad &&\text{si} \quad j\neq p \end{aligned} \right.$$

Si $f$ est une forme linéaire comme tu le proposes alors tu vas en déduire pas mal de choses sur $f(E^{(ij)})$ (lorsque $i\neq j$ et lorsque $i=j$).

Roro.