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William

Invité

[Résolu] Equation différentielle

On considère l'équation différentielle (E): y"+4y'+4y= 8 ou y désigne une fonction de la variable réelle x définie et deux fois dérivablesur R.

1) Vérifier que la fonction g définie sur R par g(x)=2 est une solution de (E)
2) Résoudre sur R l'équation différentielle :y"+4y'+4y=0
3) En déduire l'ensemble des solutions sur R de l'équation diff (5)
4)Déterminer la solution f de l'équation (E) qui vérifie les conditions

                 f(0)=2 et f(-1/2)=-e/2+2

Si possible je veux des explications pour la question n°4

S.C

Invité

Re : [Résolu] Equation différentielle

L'equation diff que tu dois résoudre se calcule facilement à l'aide d'une méthode vue en cours (probablement, "équa caractéristique"); à partir de là, il ne te reste plus qu' à trouver la valeur de la cste de la solution que tu as trouvée.Pour cela tu utilises:

           f(0)=2 et f(-1/2)=-e/2+2 qui va t'obliger à résoudre un petit système à partir duquel tu trouveras Cste=C, où f représente la solution générale(i.e solutions questions 3 + 4) que tu as trouvée.

william

Invité

Re : [Résolu] Equation différentielle

On considère l'équation différentielle (E): y"+4y'+4y= 8 ou y désigne une fonction de la variable réelle x définie et deux fois dérivablesur R.

1) Vérifier que la fonction g définie sur R par g(x)=2 est une solution de (E)
2) Résoudre sur R l'équation différentielle :y"+4y'+4y=0
3) En déduire l'ensemble des solutions sur R de l'équation diff (5)
4)Déterminer la solution f de l'équation (E) qui vérifie les conditions

                 f(0)=2 et f(-1/2)=-e/2+2

Si possible je veux des explications pour la question n°4

être plus explicatif sui possible marche à suivre.merci

JJ

Invité

Re : [Résolu] Equation différentielle

y"+4y'+4y=0

y = exp(r.x)
y' = r.exp(r.x)
y" = r² exp(r.x)
y"+4y'+4y = (r²+4r+4)exp(r.x) = 0
r²+4r+4 = 0
r = -2
y = exp(-2x)

y"+4y'+4y= 8

y = z.exp(-2x)
y' = (z'-2z)exp(-2x)
y"= (z"-4z'+4z)exp(-2x)
y"+4y'+4y = (z"-4z'+4z+4(z'-2z)+4z)exp(-2x) = z"exp(-2x) = 8
z" = 8 exp(2x)
z' = 4 exp(2x) + C 
z = 2 exp(2x) + C.x + K
y = (2 exp(2x) + C.x + K)exp(-2x)
y = 2 + (C.x+K)exp(-2x) 

y(0) = 2 + K = 2
K = 0
y = 2 + C.x.exp(-2x)
y(-1/2) = 2 -(C/2)exp(1) = 2 -C.e/2 = -e/2+2
C = 1
y = 2 + x.exp(-2x)