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ccapucine

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espace H1

Bonjour
On a l’inégalité suivante:
$$\exists c \geq 0, \forall \phi \in D(R), Sup_{x \in R} |\phi(x)| \leq c ||\phi||_H1.$$

Si $u \in H^1$, alors par densité il existe une suite $(\phi_j)$ de $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\phi_j$ converge vers $u$ dans $H^1$. Est ce que l’inégalité que j’ai enoncé plus haut peut s’appliquer à $u-\phi_j$? Si oui, comment le justifier?

Bien cordialement

aviateur

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Re : espace H1

Bonjour 
L'inégalité appliquée  à la suite  [tex](\phi_j)[/tex]   montre que cette suite est de Cauchy  dans [tex]L^\infty(\R)[/tex]
Donc la suite [tex](\phi_j)[/tex]  converge vers u [tex]L^\infty(\R)[/tex].  L'inégalité s'étend donc à  u.

Dernière modification par aviateur (02-03-2019 16:09:36)

ccapucine

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Re : espace H1

Salut Aviateur.
Je souhaite justement utiliser cette inégalité pour montrer que $(\phi_j)$ converge uniformément vers $u$. J'ai dit ceci: On a par la convergence de $\phi_j$ vers $u$ dans $H^1$ que
$$
\forall \epsilon > 0, \exists j_0 \in \mathbb{N}, \forall j \geq j_0: ||\phi_j -u||_{H^1} \leq \epsilon.
$$
et par l'inégalité de mon premier post on a
$$
\sup_{x \in \mathbb{R}} |\phi_j(x)-u(x)| \leq ||\phi_j - u ||_{H^1},
$$
d'où la convergence uniforme.
Mais est-ce que j'ai bien le droit d'utiliser cette inégalité de mon premier post, qui est vraie pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$?

Cordialement

ccapucine

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Re : espace H1

Bonsoir
en fait ce que je veux savoir c’est est ce que de l’inégalité
Sup_x |phi(x)| \leq c ||phi||_{H1} où phi \in D(\mathbb{R})
On peut déduire l’inégalité
Sup_x |phi_j -u| \les c ||phi_j -u||_{H1},
où phi_j in D et u \in H1
Sans utiliser la convergence uniforme de phi_j vers u et la continuité de u?

Bien cordialement

aviateur

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Re : espace H1

Il n'y a pas de problème avec ce que j'ai dit.  Pour tout u dans H^1  c'est OK  en particulier pour u-phi_j

ccapucine

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Re : espace H1

Bonsoit Aviateur. S'il vous plaît je n'arrive pas à comprendre comment vous passer de l'inégalité pour tout $\varpji \in D$ à la même inégalité pour tout $u \in H^1$. Pouvez vous m'expliciter l'idée s'il vous plaît (car je mélange avec la convergence uniforme or que c'est l'objectif donc je ne souhaite pas l'utiliser).
Merci par avance.