Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

$L^2(\Omega)$

Bonjour
est-ce que $L^2(\Omega)$ est identique à $H^0(\Omega)$ ou bien elle est identique à $H^0_0(\Omega)$ qui est l'adhérence de $\mathcal{D}(\Omega)$ dans $H^0(\Omega)$?

Bien cordialement

aviateur

Membre

Inscription : 19-02-2017

Messages : 189

Re : $L^2(\Omega)$

Bjr 
Encore faut-il préciser ce que [tex]\Omega?[/tex]  En effet, de façon analogue  on pourrait demander [tex]H^1_0(\R)=H^1(\R)[/tex] ?
Sinon  la notation [tex]H^0(\Omega)[/tex] ne me semble pas très utilisée. De toute façon [tex]H^0[/tex] et [tex]H^0_0.[/tex]
c'est la même chose.

Dernière modification par aviateur (24-02-2019 17:27:12)

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Re : $L^2(\Omega)$

$\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{R}$. Pourquoi $H^0(\Omega)$ est idéntique à $H^0_0(\Omega)$ qui est l'adhérence de $\mathcal{D}(\Omega)$ dans $H^0(\Omega)$?

Cordialement

aviateur

Membre

Inscription : 19-02-2017

Messages : 189

Re : $L^2(\Omega)$

Avec un exemple [tex]\Omega=(-1,1).[/tex]
Soit la suite [tex]\Omega_n=(-1+1/n,1-1/n)[/tex]  et f dans [tex]L^2(\Omega)[/tex].
[tex]f_n=f 1_{\Omega_n}[/tex] cv vers  f dans [tex]L^2(\Omega)[/tex].

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 195

Re : $L^2(\Omega)$

Merci aviateur. Je ne comprends pas pourquoi cet exemple montre que $H^0_0= H^0$.

aviateur

Membre

Inscription : 19-02-2017

Messages : 189

Re : $L^2(\Omega)$

Bjr
C'est pas vraiment une démo.  C'est simplement pour avoir une idée du résultat.   
C'est clair qu'avec l'exemple  ||f-f_n||_2  tend vers 0.
Maintenant les (f_n) sont nulles près du  bord de (-1,1) , elles sont dans H_0^0(-1,1)....

Sinon pour la démo, à mon avis cela vient que [tex]D(\Omega)[/tex] est dense dans [tex]L^2(\Omega) [/tex]