Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tetou

Membre

Inscription : 16-02-2019

Messages : 1

fractions égyptiennes

bonjour,  j'ai un dm sur les fractions égyptiennes mais je ne comprends pas comment cela fonctionne.
l’énoncé est le suivant: les égyptiens utilisaient uniquement ( à l’exception de 2/3), les fractions de la forme 1/n et les sommes 1/p + 1/q +...+1/r où les dénominateurs sont tous différents. Ainsi la fraction 3/7 s’écrivait 1/3 + 1/11 + 1/231 et non 1/7 + 1/7 + 1/7

Question: vérifier que 11/12 s’écrit en fraction égyptiennes 1/2 + 1/3 + 1/12
cette décomposition n'était en revanche pas unique

Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?
Merci.

Deugard

Membre

Inscription : 28-12-2018

Messages : 36

Re : fractions égyptiennes

Bonjour;
Dans l'écriture (unique) d'un rationnel a/b en "base égyptienne" (où a<b), il faut que chaque fraction 1/x
soit la plus grande possible et donc que le dénominateur x soit le plus petit possible. Pour cela, il s'agit
d'ajouter 1 au quotient q de la division euclidienne de b par a;  en effet, si  b=qa+r, avec  0<r<a ,
alors   qa < b < (q+1)a   donc   1/qa > 1/b > 1/(q+1)a   d'où   1/q > a/b > 1/(q+1) ,  ce qui donne:
a/b - 1/(q+1) >0   alors que:   a/b - 1/q <0 ;
ainsi, q+1 est bien le plus petit entier naturel x tel que  a/b - 1/x >0 .
Il suffit alors d'écrire    a/b  =  1/(q+1)  +  a/b  -  1/(q+1)   pour  obtenir la formule qui sera réutilisée à
chaque étape:                   
                                               [tex]\mathbf{\Large{\frac{a}{b} = \frac{1}{q+1} +\frac{a(q+1)-b}{(q+1)b}}}[/tex] .

Vérifions ce procédé pour  3/7 :  la division euclidienne de 7 par 3 s'écrit:   7=2.3+1,  donc ici q=2;
appliquons alors la formule une première fois:   [tex]\frac{3}{7}=\frac{1}{2+1}+\frac{3(2+1)-7}{(2+1)7}=\frac{1}{3}+\frac{9-7}{3.7}=\frac{1}{3}+\frac{2}{21}[/tex] ;
considérons maintenant le rationnnel 2/21:  la division euclidienne de 21 par 2 s'écrit:   21=10.2+1,
donc ici q=10;  appliquons alors la formule à 2/21:  [tex]\frac{2}{21}=\frac{1}{10+1}+\frac{2(10+1)-21}{(10+1)21}=\frac{1}{11}+\frac{22-21}{11.21}=\frac{1}{11}+\frac{1}{231},[/tex]
ce qui donne finalement :     [tex]\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}[/tex] .
De même, pour  11/12 :   12=1.1+1  donc   [tex]\frac{11}{12}=\frac{1}{2}+\frac{11.2-12}{2.12}=\frac{1}{2}+\frac{5}{12}[/tex];   puis   12=2.5+2  donc
[tex]\frac{5}{12}=\frac{1}{3}+\frac{5.3-12}{3.12}=\frac{1}{3}+\frac{1}{12}[/tex],   ce qui donne finalement:   [tex]\frac{11}{12}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}[/tex].

Black Jack

Membre

Inscription : 15-12-2017

Messages : 514

Re : fractions égyptiennes

Bonjour,

Tout ce qui t'es demandé est de vérifier que 1/2 + 1/3 + 1/12 est bien égal à 11/12

Il suffit donc de remettre tous les termes de 1/2 + 1/3 + 1/12 au même dénominateur et ...