Maximisation d'une fonction

Vanille · 28-01-2019 08:54:27

Bonjour à tous

On considère la fonction profit sur un marché en fonction de la quantité produite totaleQ : Π(Q).
On sait que pour trouver Q* qui maximise le profit sur le marché on doit annuler la dérivée partielle de Π(Q).
∂Π (Q*) /∂Q = 0

Maintenant si on considère que le marché est composé de deux firmes qui produisent q1 et q2 : Q = q1 + q2
on a donc Π(Q) = Π(q1 + q2)

Pour maximiser le profit total sur le marché on doit trouver q1* + q2*
tel que
∂Π (q1* + q2*) /∂(q1+q2) = 0

Jusque là pas de problème c'est la même chose
Alors que signifie le programme de maximisation suivant
∂Π (q1*+ q2*) /∂q1 = 0
et
∂Π (q1*+ q2*) /∂q2 = 0

Etant donné que cette fois-ci on dérive le profit total par rapport à q1 puis par rapport à q2 est-ce que c'est la même chose/ on trouve le même résultat que lorsqu'on dérive le profit total par rapport à la quantité totale. Si ce n'est pas la même chose, quelle est la différence dans ce qu'on cherche à maximiser ?

Michel Coste · 28-01-2019 09:21:11

Bonjour vanille

Vanille a écrit :

∂Π (q1* + q2*) /∂(q1+q2) = 0

Cette écriture n'a pas de sens, on dérive par rapport à une variable et $q_1+q_2$ n'est certainement pas une variable.

J'ai l'impression que tu modélises mal ton problème. Le profit n'est sans doute pas fonction de $q_1+q_2$, mais fonction des deux variables $q_1,q_2$. Sinon, il n'y aurait vraiment aucun intérêt à distinguer $q_1$ et $q_2$.

Il faudrait nous en dire plus sur ton problème réel.

Vanille · 28-01-2019 10:02:14

Bonjour Michel,

q1 + q2 = Q
Donc, si c'est plus correct on peut ∂Π (Q*) /∂(Q) = 0, j'avais mis q1 + q2 pour montrer que la production totale était l'agrégation de deux niveaux de production de deux firmes distinctes

En fait le problème est le suivant.
On est dans une situation de duopole (il n'y a que deux firmes sur le marché)

Au lieu de maximiser leur profit personnel, comme c'est le cas dans le modèle de Cournot c'est à dire faire
∂Π1 (q1) /∂(q1) = 0
∂Π2 (q2) /∂(q2) = 0

les firmes considèrent qu'il est plus judicieux pour l'une et pour l'autre de maximiser le profit total du marché en formant un cartel au lieu de se faire concurrence, et de se répartir le profit ensuite.
Avant de savoir comment elle vont se le répartir, je voudrais savoir comment elles maximisent le profit total.

Dans un livre il est dit qu'elles vont résoudre ∂Π (Q*) /∂Q = 0

Seulement dans un autre livre il est dit qu'elle vont résoudre
∂Π (q1*+ q2*) /∂q1 = 0 ou ce qui est la même chose ∂Π (Q*) /∂q1 = 0
et
∂Π (q1*+ q2*) /∂q2 = 0 ou ce qui est la même chose ∂Π (Q*) /∂q2 = 0

S'agit-il de deux programmes de maximisation équivalents ?

Dernière modification par Vanille (28-01-2019 10:06:54)

Vanille · 28-01-2019 10:14:04

La fonction profit total peut s'exprimer comme suit
Π (Q) = [a - b (q1 + q2)] (q1 + q2) - C1 (q1) - C2 (q2)

Les fonctions profit individuel peuvent s'exprimer comme suit
Π1 (q1) = [a - b (q1 + q2)] (q1) - C1 (q1)
Π2 (q2) = [a - b (q1 + q2)] (q2) - C2 (q2)

Michel Coste · 28-01-2019 10:21:39

Franchement, ce problème me semble complètement idiot (et ne fait que renforcer mes doutes sur la pertinence de ce genre de modélisation pour l'économie - enfin passons). Parlons uniquement de mathématiques.

Soit $\Pi$ une fonction d'une variable $q$ ; on note $\Pi'$ sa dérivée. On considère maintenant la fonction de deux variables $\Phi : (q_1,q_2)\mapsto \Phi(q_1+q_2)$. Alors le théorème de dérivation des fonctions composées nous dit que
$$\frac{\partial \Phi}{\partial q_1}(q_1,q_2)=\frac{\partial \Phi}{\partial q_2}(q_1,q_2)= \Pi'(q_1+q_2)\;.$$
Si $q^*$ maximise $\Pi$, alors tous les couples $(q_1,q_2)$ tels que $q_1+q_2=q^*$ maximisent $\Phi$ (c'est bien évident, n'est-ce pas ?).

Michel Coste · 28-01-2019 10:35:12

Bon, je viens de voir le message que tu as ajouté. Tu aurais dû commencer par là. En effet, dans ton premier message tu écris quelque chose de complètement erroné :

on a donc Π(Q) = Π(q1 + q2)

La réponse que je viens de faire reposait sur cette mauvaise interprétation que tu as faite de l'énoncé.
La vraie fonction $\Pi$ est une fonction de deux variables qui ne s'exprime pas comme fonction de $q_1+q_2$ !
Tu remarqueras que dans ce que tu écris, $\Pi_1$ ne dépend pas que de $q_1$, mais aussi de $q_2$. On a
$$\Pi(q_1,q_2)=\Pi_1(q_1,q_2)+ \Pi_2(q_1,q_2)\;.$$
La maximisation de $\Pi$ relève de la technique habituelle pour une fonction de deux variables : une condition nécessaire pour un maximum dans l'intérieur du domaine de définiton est l'annulation des deux dérivées partielles (qui sont les sommes des dérivées partielles de $\Pi_1$ et $\Pi_2$).

freddy · 28-01-2019 11:13:27

Salut,

un tout petit point de détail pour ceux qui s'intéressent à ce sujet
On fait apparaître les deux quantités produite $q_1$ et $q_2$ car ces volumes conditionnent le prix de vente à travers la fonction de demande(car nous sommes en situation de duopole) qui conditionne à son tour le profit de chacune des deux firmes.
Bien évidemment, chaque firme fait son calcul par rapport à la seule variable qu'elle maîtrise.

Michel Coste · 28-01-2019 11:54:14

Une question alors : comment faire pour maximiser $\Pi_1(q_1,q_2)$ si on ne contrôle que $q_1$ ? On ne peut qu'exprimer un maximum que la fonction $q_1\mapsto \Pi_1(q_1,q_2)$ à $q_2$ fixé, et on aura donc au mieux un maximum dépendant de $q_2$.

freddy · 28-01-2019 12:22:30

Chaque firme fait son propre calcul et l'hypothèse supplémentaire est qu'en outre, elle connaît la structure de coût de la seconde firme. Ce n'est pas complétement aberrant car les deux firmes produisent un bien identique.
Chacune résout son programme d'optimisation en résolvant par la même occasion celui de sa concurrente.
C'est la résolution d'un équilibre de Nash avant l'heure !

Rectification : nous sommes dans un cartel, pas un duopole type Cournot. Là, je n'ai pas trop de lumière sur la bonne manière de faire, sauf à raisonner sur la production totale puis répartir en fonction des deux entités ... Il est possible qu'on arrive au même résultat (c'est mon intuition, faut le démontrer !).

PS : en réalité, non, car le cartel = formation d'un monopole et donc, le résultat est celui d'un monopole, plus avantageux que celui d'un duopole.

Dernière modification par freddy (28-01-2019 12:33:28)

Vanille · 28-01-2019 17:39:39

Rectification : nous sommes dans un cartel, pas un duopole type Cournot. Là, je n'ai pas trop de lumière sur la bonne manière de faire, sauf à raisonner sur la production totale puis répartir en fonction des deux entités ... Il est possible qu'on arrive au même résultat (c'est mon intuition, faut le démontrer !).
PS : en réalité, non, car le cartel = formation d'un monopole et donc, le résultat est celui d'un monopole, plus avantageux que celui d'un duopole.

C'est exactement ça; il vont bien maximiser le profit total, ce profit total va être plus grand que la somme des profit individuel lorsqu' ils avaient maximisé leur profit individuel sous la contrainte du choix de quantité de l'autre un peu comme en théorie des jeux, où l'équilibre de Nash n'est pas Pareto-optimal. Donc si chacun se réparti ensuite le profit total d'une façon "équitable" chacun pourrait obtenir un profit individuel supérieur par rapport au modèle de Cournot

Michel Coste, c'est effectivement parce que je trouve ce cas ambigu et qu'il me pose problème que je viens ici demander de l'aide mathématique. Lorsque je trouve le problème clair comme de l'eau de roche comme ça m'est arrivé quand j'ai étudié le modèle de Cournot, Bertrand, Stackelberg, etc .. je ne ne demande pas d'aide. J'ai vraiment trouvé les deux écritures dans deux livres différents (dérivation par rapport à Q et dérivation par rapport à q1 puis q2);

Moi aussi j'ai trouvé ça étrange.

L'intérêt de dériver par rapport à q1 puis q2 c'est qu'on trouve sur une propriété intéressante

∏t (q1 + q2) = RT (q1 + q2 ) – CT (q1 + q2)
∏t (q1 + q2) = RT (q1 + q2 ) – C1(q1) - C2(q2)
q1 et q2 maximise ∏t
<=>
∂∏t (q1 + q2)/∂ (q1 ) = 0
∂∏t (q1 + q2)/∂ (q2 ) = 0
<=>
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q1 ) = ∂ (C1(q1) +C2(q2))/∂ (q1 )
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q2 ) = ∂ (C1(q1) + C2(q2))/∂ (q2 )
<=>
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q1 ) = ∂ (C1(q1)/∂ (q1 ) + ∂ (C2(q2))/∂ (q1 )
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q2 ) = ∂ (C1(q1)/∂ (q2) + ∂ (C2(q2))/∂ (q2)
<=>
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q1 ) = Cm1 + 0
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q2 ) =0 + Cm2
<=>
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q1 ) = Cm1
∂RT (q1 + q2 )/∂ (q2) = Cm2

Etant donné que ∂RT (q1 + q2 )/∂ (q1 ) = ∂RT (q1 + q2 )/∂ (q2) car la recette totale du cartel est affecté pareillement par une variation de la quantité produite par la firme 1 et par la firme 2
on en déduit que Cm1 = Cm2

on arrive donc à prouver que cm1 = Cm2 quand on maximise le profit total et donc que si les deux firmes ont la même fonction coût alors Cm1 (q1) = Cm2 (q2) <=> q1 = q2 donc elle produiront la même quantité (on sait donc comment répartit la production après maximisation du profit total)

Mais ça me parait étrange ce résultat parce que je pensais que c'était les firmes qui par équité allait se répartir les quantité de façon à ce que cm1 = cm2 (le fait que cm1 = cm2 aurait été une condition humaine ou économique) et non que ça allait d'office ressortir comme une condition à respecter dans le programme de maximisation, puisque je pensais que le programme de maximisation "se ficherait" de savoir comment serait répartie la production entre les firmes.
Oui je sais la dernière phrase n'est pas très rigoureuse et prouve mon manque de connaissance sur les analyse des fonctions

Dernière modification par Vanille (28-01-2019 18:16:27)

Michel Coste · 30-01-2019 10:14:50

∏t (q1 + q2) = RT (q1 + q2 ) – CT (q1 + q2)
∏t (q1 + q2) = RT (q1 + q2 ) – C1(q1) - C2(q2)
q1 et q2 maximise ∏t

Qu'est-ce que ça veut dire ? Je ne comprends pas. Qui est CT ?

Vanille · 03-02-2019 04:13:36

Bonjour Michel Coste.

Au temps pour moi je n'avais pas vu que tu avais fini par répondre le lendemain.

Voici les notations
∏t (q1, q2) : profit total
∏1 (q1, q2) : profit de la firme 1
∏2 (q1, q2) : Profit de la firme 2
∏tm(q1, q2) : profitmargial total
∏m1 (q1, q2) : profit marginal de la firme 1
∏m2 (q1, q2) : Profit marginal de la firme 2
Rt (q1, q2) : recette totale
R1 (q1, q2) : recette de la firme 1
R2 (q1, q2)) : recette de la firme 2
CT (q1, q2)) : coût total
C1 (q1) : Coût de la firme 1
C2 (q2) : Coût de la firme 2
Cm1(q1) : coût marginal de la firme 1
Cm2 (q2) : coût marginal de la firme 1
RM (q1, q2) : recette moyenne totale
RM1(q1, q2) recette moyenne de la firme 1
RM2 (q1, q2) recette moyenne de la firme 2
p(q1, q2) : prix ou fonction demande
RM (q1, q2) = p(q1,q2) = a – b(q1 + q2)
Q = q1 + q2

∏t = Rt – Ct
∏1 = R1 – C1
∏2 =R2 - C2

Dernière modification par Vanille (03-02-2019 04:19:34)

Michel Coste · 03-02-2019 08:48:27

Bonjour Vanille,

Dans le passage que j'ai cité, tu écris CT(q1+q2). Dans le message d'hier, tu écris CT(q1,q2). Vois-tu que ce n'est pas du tout la même chose ?

Si je t'ai posé la question justement, c'est parce que je ne comprenais pas cette écriture CT(q1+q2). Je veux bien que le coût total soit une fonction des deux variables q1 et q2, mais je ne comprends pas qu'il soit une fonction de la somme q1+q2.

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