exercice super-important sur une fonction dérivable:

nipolo123 · 31-12-2018 20:03:03

salut:

soit f définie de [0;1] a [0;1]:derivable tel que fof=f:

montrer que : f est constante ou bien f=id[0;1]:
merci:

Michel Coste · 01-01-2019 13:38:17

Bonjour,

Si on prend la peine de dire que la fonction est dérivable, ça pousse à dériver. As-tu essayé ?

nipolo123 · 02-01-2019 15:05:35

oui bien sur c'est déja un exercice de notre DS du premier trime et d'ailleurs les deux exercices sont du DS et je voulais savoir la solution parce que j'ai eu 18 sur 20 et le prof m'a donné 2/3 sur chacun d'eux donc je vouais savoir comment on peut répondre avec une bonne rédaction à ces exos
merci

Dattier · 02-01-2019 15:15:22

Bonjour,

Tu peux scanner ton DS, et nous montrer ici ce que tu as fait pour que le prof te donne 2/3.

Bonne journée.

Carolinapilo · 03-01-2019 14:30:22

Bonjour,
Bon les amis si vous saviez vraiment la réponse quelqu'un nous répond parceque moi aussi je suis tombée sur cet exercice mais je ne savais pas comment répondre.
Et vous nipolo si vous avez vraiment la rédaction tel que vous dit montrez nous parce que moi j'ai trouvé un probleme dans le produit de f(x) et f(x)-1 qui est nulle mais aprés je savais pas comment continuer.

Michel Coste · 03-01-2019 17:43:43

Carolinapilo a écrit :

moi j'ai trouvé un probleme dans le produit de f(x) et f(x)-1 qui est nulle mais aprés je savais pas comment continuer.

Hum, j'ai l'impression que tu confonds $f\circ f$ avec $f\times f$. La fonction $f$ satisfait $f(f(x))=f(x)$ pour tout $x\in [0,1]$, et pas $ (f(x))^2=f(x)$.

Eternea · 04-01-2019 15:55:41

salut à tous !
J'ai vu passer cet exercice en colle avec un ami, il me semble que la voie de l'absurde est à creuser bien que je ne sois pas sur. En gros, si la fonction était non constante, avec une certaine valeur de x fof(x) ne pourrait pas être égale f(x). Je suis curieux de savoir ce que Nipolo à fait au ds aussi. Je vais essayer de retrouver, des gars dans ma prépa doivent avoir la solution si il faut.
Bon courage

Dernière modification par Eternea (04-01-2019 15:56:11)

aviateur · 04-01-2019 16:30:20

Bonjour
C'est tout de même assez facile comme exo:
On a f(f(x))=f(x). Donc pour tout y dans f([0,1]) f(y)=y. Mais par continuité de f, on a f([01])=[a,b].
cas 1. si a=b alors f est constante et c'est terminé.
cas 2 a<b. Montrons que a=0 et b=1 (et alors f=identité).
On montre que b=1 (pour a= 0 cela sera analogue. )
Supposons b<1. On sait que f= identité sur [a,b] donc en particulier f(b)=b et f'(b)=1.
Mais puisque f'(b)>1 on peut trouver h>0 assez petit tel que f(b+h)>f(b)=b. Ce n'est pas possible puisque f([0,1])=[a,b].

Michel Coste · 04-01-2019 16:39:28

Bonjour,

Tu voulais sans doute écrire $f'(b)>0$.

freddy · 04-01-2019 16:57:34

Salut,

avec la dérivée, on arrive à un résultat analogue.

Puisque f est dérivable, alors $\forall x \in [0,1], f'(x)\times f'(f(x))=f'(x)$

Soit $f'(x) \ne 0$ et donc $\forall x \in [0,1], f'(f(x))=1$ et donc f est la fonction identité.

Soit $f'(x) = 0$ et donc f est la fonction constante.

C'était la piste de MC :-)

Dernière modification par freddy (04-01-2019 17:04:00)

Michel Coste · 04-01-2019 17:20:27

Euh Freddy, ce que tu écris manque de quantification sur $x$, et je ne comprends pas ton argument.

freddy · 04-01-2019 17:34:05

Ah bon ? Je n'y crois pas un seul instant, mais je vais faire comme si.

La fonction f est dérivable sr [0,1] et vérifie fof=f, donc par dérivée de la fonction composée, je me trouve dans une situation où j'ai, de manière très simple, $a\times b=a$
donc soit a est non nul et donc b est égal à 1, soit a est nul.
En traduisant les termes a et b, j'en déduis ce que j'ai écrit.
Tu proposes quoi, de ton côté ?
(je guette ta réponse :-)))
PS : oui, j'aurais dû écrire : supposons que $\forall x \in [0,1], f'(x) \ne 0$.

Dernière modification par freddy (04-01-2019 17:36:38)

Michel Coste · 04-01-2019 17:45:38

On a : pour tout $x\in [0,1]$, $f'(x)=0$ ou $f'(f(x))=1$, et pas : pour tout $x\in [0,1]$, $f'(x)=0$ ou pour tout $x\in [0,1]$, $f'(f(x))=1$.

À vrai dire, cette voie là me paraît bien plus tortueuse que la voie indiquée par aviateur..

freddy · 04-01-2019 17:52:08

Pas trop d'accord !

j'ai un produit de la forme axb=a et donc
1) soit a est non nul et donc b = 1
2) soit a est nul.

Michel Coste · 04-01-2019 18:05:57

Encore une fois, tu mets la quantification sur $x$ complètement sous le tapis !

J'attends que tu me démontres que l'une des deux propositions doit être vraie
1) pour tout $x\in [0,1]$, $f'(x)=0$,
2) pour tout $x\in [0,1]$, $f'(f(x))=1$,
et qu'il est impossible qu'il existe des $x\in [0,1]$ tels que $f'(x)=0$ et aussi d'autres $x\in [0,1]$ tels que $f'(x)\neq 0$.

(bien sûr, on peut le montrer en utilisant l'argument d'aviateur).

Dattier · 04-01-2019 18:44:16

Bonsoir,

@Aviateur : c'est astucieux, spontanément je serais passé par le chemin indiqué par M.Coste en oubliant pas d'utiliser le théorème de Darboux.

Bonne soirée.

Dernière modification par Dattier (04-01-2019 18:50:11)

Dattier · 04-01-2019 18:59:43

On peut traité le cas continue, avec un raisonnement similaire à Aviateur :

$f([0,1])=[a,b]$

cas 1 : $a=b$

cas 2 : $a<b$, $f$ est l'identité sur $[a,b]$
Alors il faut et il suffit que $f([0,a]) \subset [a,b]$ et $f([b,1]) \subset [a,b]$, avec $f(a)=a$ et $f(b)=b$

PS : cela donne des indications sur le cas général (sans continuité) qui se résoud alors trés facilement également, me semble-t-il.

Dernière modification par Dattier (04-01-2019 19:32:04)

Zebulor · 06-01-2019 10:28:12

Bonjour,

Je propose un autre début de solution à cet exercice.

[tex]f[/tex] est définie de [tex][0;1][/tex] à [tex][0;1][/tex] : je comprends [tex]f[/tex] définie sur [tex][0;1][/tex]. Dans cette hypothèse et seulement dans celle ci : [tex]f[0;1]=[0;1][/tex]. Tout élément de son ensemble d'arrivée possède donc au moins un antécédent, [tex]f[/tex] est donc surjective sur [tex][0;1][/tex]. Dans la suite je désigne par [tex]I[/tex] l'intervalle [tex][0;1][/tex]

Il reste 2 cas à étudier :

1°)soit [tex]f[/tex] est injective sur [tex]I[/tex]
2°)soit elle ne l'est pas sur ce même ensemble

Etude du 1er cas :
si [tex]f[/tex] est injective sur [tex]I[/tex] alors elle est bijective sur ce même ensemble, soit strictement monotone. Sa fonction réciproque [tex]g[/tex] existe et sachant que [tex]f\bigcirc f=f[/tex], on obtient par composition de [tex]g[/tex] sur [tex]f\bigcirc f=f[/tex] l'égalité [tex]f=Id[/tex]

Etude du 2e cas :
[tex]f[/tex] n'est pas injective. La démonstration consiste à prouver que dans ce dernier cas elle ne peut être qu'une constante… Dans ce deuxième cas il est existe au moins un couple [tex](a;b)[/tex] de [tex][0;1][/tex] avec [tex]a[/tex] différent de [tex]b[/tex] tel que [tex]f(a)=f(b)[/tex] .. une piste valable ? je ne sais pas...En raisonnant par l'absurde on peut supposer qu'il existe [tex]c[/tex] tel que [tex]c=(a+b)/2[/tex], tel que [tex]f(c)[/tex]différent de [tex]f(a)[/tex] , pour conclure qu'on ne peut qu'avoir [tex]f(c)=f(a)=f(b)[/tex] …et continuer par la méthod de dichotomie, mais au mieux on aurait [tex]f([a;b][/tex]) égale une constante K...et non [tex]f([0;1]=K[/tex]

Dernière modification par Zebulor (09-01-2019 21:40:37)

freddy · 06-01-2019 23:25:51

Zebulor a écrit :

Bonjour,
Je propose un autre début de solution à cet exercice.
[tex]f[/tex] est définie de [tex][0;1][/tex] à [tex][0;1][/tex]. Tout élément de son ensemble d'arrivée possède donc au moins un antécédent, [tex]f[/tex] est donc surjective sur [tex][0;1][/tex]. Dans la suite je désigne par [tex]I[/tex] l'intervalle [tex][0;1][/tex]
Il reste 2 cas à étudier :
1°)soit [tex]f[/tex] est injective sur [tex]I[/tex]
2°)soit elle ne l'est pas sur ce même ensemble
Etude du 1er cas :
si [tex]f[/tex] est injective sur [tex]I[/tex] alors elle est bijective sur ce même ensemble, soit strictement monotone. Sa fonction réciproque [tex]g[/tex] existe et sachant que [tex]f\bigcirc f=f[/tex], on obtient par composition de [tex]g[/tex] sur [tex]f\bigcirc f=f[/tex] l'égalité [tex]f=Id[/tex]
Etude du 2e cas :
[tex]f[/tex] n'est pas injective. La démonstration consiste à prouver que dans ce dernier cas elle ne peut être qu'une constante… Dans ce deuxième cas il est existe au moins un couple [tex](a;b)[/tex] de [tex][0;1][/tex] avec [tex]a[/tex] différent de [tex]b[/tex] tel que [tex]f(a)=f(b)[/tex] .. une piste valable ? je ne sais pas...

Salut,

pas très convaincu, désolé.
Pour répondre à ta question posée hier et effacée depuis, si tu as $f'(f(x))=1$ et $f \circ f=f$, tu n'as pas 50 solutions, mais une seule !

Zebulor · 06-01-2019 23:36:19

Salut Freddy,

tu as le droit de ne pas être convaincu. Effacé oui car après réflexion j'ai préféré aller à l'essentiel et présenter mon début de solution plutôt que de faire de longs discours ; aussi parce que le but de ce forum me semble t il, n'est pas tant de convaincre que d'échanger nos arguments pour permettre la discussion et l'échange. Je suis intéressé de savoir en quoi tu n'es pas convaincu par mon post #18, et surtout pourquoi.

De mon côté je ne vois toujours pas en quoi [tex]f'(f(x))=1[/tex] avec l'hypothèse [tex]f ° f=f[/tex] implique la seule solution [tex]f=Id[/tex]. Comment le démontres tu ?

La démonstration par l'absurde consisterait à supposer l'existence d'une fonction [tex]g[/tex] a priori différente de l'identité, avec les mêmes caractéristiques que [tex]f[/tex] données par l'énoncé, pour conclure que [tex]g=Id[/tex] !

Autre problème majeur : tu présupposes dans ton post #19 que l'hypothèse :
Pour tout [tex]x[/tex] de [tex][0;1][/tex][tex], f'(f(x))=1[/tex] ou pour tout [tex]x[/tex] de [tex][0;1][/tex][tex], f'(x)=0[/tex] est vraie, et tu en exploites dans un premier temps la première partie. Or ton hypothèse est fausse et j'essaie de te le montrer par la suite :

Hypothèse : Pour tout x de [tex][0;1][/tex] : [tex]f'(f(x))*f'(x)=f'(x)[/tex] (équation E)

Alors 2 cas se présentent : pour tout [tex]x[/tex] de [tex][0;1][/tex] , soit [tex]f'(x)=0[/tex], soit [tex]f'(x)[/tex] est différent de [tex]0[/tex]

Pour tout [tex]x[/tex] de [tex][0;1][/tex] :

Si [tex]f'(x)=0[/tex], alors [tex]f'(f(x))[/tex] peut prendre n'importe quelle valeur réelle finie, y compris [tex]1[/tex]
Si [tex]f'(x)[/tex] est différent de [tex]0[/tex], alors [tex]f'(f(x))=1[/tex]

En conclusion : pour tout [tex]x[/tex] de [tex][0;1][/tex], [tex]f'(x)=0[/tex] ou [tex]f'(f(x))=1[/tex], le "ou" étant pris au sens "ou inclusif".

Avec cette seule hypothèse on peut très bien avoir en théorie [tex]f'(x)=0[/tex] ET [tex]f'(f(x))=1[/tex] pour au moins un x fixé de [tex][0;1][/tex], voire sur la totalité de [tex][0;1][/tex]. Et dans ce cas l'équation E reste encore vérifiée. Mais dans la pratique ces deux propositions sont incompatibles. Le "ou" doit donc être compris au sens "ou exclusif" : l'une des 2 propositions est vraie mais pas les deux en même temps, toujours pour un [tex]x[/tex] fixé.

Dernière modification par Zebulor (10-01-2019 15:56:25)

freddy · 07-01-2019 10:50:14

Salut,

je suis d'accord pour le ou inclusif et donc la rédaction de MC comme tu l'expliques, mais un petit détail m'échappe dans ton raisonnement.
Si, pour tout $x \in [0,1]$, $f'(x)=0$, comment - fais tu pour qu'en même temps, $f'(f(x))$ puisse être distinct de $0$ ? On est d'accord que $f(x) \in [0,1]$ ?

Zebulor · 07-01-2019 11:37:29

Salut !

1) [tex]f(x)[/tex] appartient à [tex][0;1][/tex] est toujours vraie. Par contre [tex]f([0;1])=[0;1][/tex] n'est vraie que si f est surjective, et c'est ce que je suppose dans l'hypothèse de mon post #18.. dans l'énoncé de départ "f définie de [0;1] à [0;1]", je comprends que f prend toutes ses valeurs dans [0;1].

2)je reprends l'équation : [tex]f'(x)=f'(f(x))*f'(x)[/tex] pour tout [tex]x[/tex] de [tex][0;1][/tex]. Simplement je constate que lorsque [tex]f'(x)=0[/tex] dans cette équation je me retrouve avec une équation du genre : [tex]0=f'(f(x))*0[/tex]. N'importe quelle valeur de [tex]f'(f(x))[/tex] réelle et finie (puisque f est dérivable sur [tex][0;1][/tex]) vérifie cette équation. Je me suis aussi posé cette question là, mais ...je ne me fie qu'à l'équation, et ce n'est moi pas qui le veux, c'est elle (sourire)

En théorie et en théorie seulement si on ne s'en tient qu'à l'équation de la dérivée de [tex]f[/tex] il peut y avoir au moins une valeur de [tex]x[/tex] dans [tex][0;1][/tex] pour laquelle [tex]f'(x)=0[/tex] ET [tex]f'(f(x))[/tex] différent de 0.

Mais en pratique il se trouve que lorsque [tex]f[/tex] est constante, ou lorsque [tex]f[/tex] est l'identité aucune de ces 2 conditions ne sont vérifiées en même temps quel que soit x fixé dans [0;1]…

D'une manière générale avec une équation du genre E on peut avoir l'un ou l'autre de ces cas a) et b) :
a) une ou plusieurs proposition(s) impossible(s) mathématiquement : elles peuvent être :
-soit isolées : exemple : [tex]sin(x)=-4[/tex] n'a pas de solution dans [tex]R[/tex]
-soit associés : exemple ici typiquement : pour tout [tex]x[/tex] de [tex][0;1][/tex] ,[tex]f'(x)=0[/tex] et [tex]f'(f(x))=1[/tex] ; on a 2 propositions dites incompatibles.
b) une ou des propositions mathématiquement possibles : dans ce cas la ou les fonction(s) solutions vérifient au moins l'une de ces propositions. Ici : pour tout [tex]x[/tex] de [tex][0;1][/tex], [tex]f'(x)=0[/tex] est vérifiée par la fonction constante. Et la proposition "pour tout [tex]x[/tex] de [tex][0;1][/tex], [tex]f'(f(x))=1[/tex]" est vérifiée par l'application [tex]Id[/tex]
Dans cet exercice on a la fois a) et b) ...d 'où la difficulté de cette voie (je cite ) :"tortueuse"..

Dernière modification par Zebulor (10-01-2019 21:37:49)

freddy · 07-01-2019 14:23:55

Zebulor a écrit :

De mon côté je ne vois toujours pas en quoi [tex]f'(f(x))=1[/tex] avec l'hypothèse [tex]f \circ f=f[/tex] implique la seule solution [tex]f=Id[/tex]. Comment le démontres tu ?

C'est assez simple.
si, pour tout $x \in [0,1]$ on a [tex]f'(f(x))=1[/tex], alors $f(x)=x+K$. Maintenant, la seconde condition induit $f(f(x))=x+2K=x+K$ qui ne peut fonctionner que si $K=0$

Pour revenir sur le sujet précédent, si tu affirmes que la dérivée est nulle en tout point du segment unité, alors elle ne peut pas être non nulle, même en un seul point de ce segment.

Dernière modification par freddy (07-01-2019 16:11:24)

Zebulor · 07-01-2019 15:35:59

re,

où vois tu que j'ai écrit, sous quelque forme que ce soit que : "la dérivée est nulle en tout point du segment unité, alors elle ne peut pas être non nulle, même en un seul point de ce segment." N'as tu pas confondu "[tex]f'(f(x))[/tex] différent de [tex]0[/tex] "avec "[tex]f'(x)[/tex] différent de [tex]0[/tex]" ?

Et je vois maintenant au sujet de la résolution de [tex]f'(f(x))=1[/tex]. Merci pour ta réponse. Parfois je ne vois pas les choses simples..

Preuve en est qu'en remarquant que pour tout [tex]x[/tex] du segment unité, [tex]f'(f(x))*f'(x)=f'(x)[/tex], on peut factoriser, d'où :

pour tout [tex]x[/tex] du segment unité, [tex]f'(x)*(f'(f(x))-1)=0[/tex] … ce qui permet une autre lecture et confirme ce qui est écrit dans le post #13 par M. Coste..

La fonction constante vérifie : pour tout [tex]x[/tex] du segment unité, [tex]f'(x)=0[/tex]
La fonction identité vérifie : pour tout [tex]x[/tex] du segment unité [tex]f'(f(x))=1[/tex]

Et parce que ces deux dernières fonctions sont les seules solutions (d'après l'énoncé), et c'est ce qui reste à démontrer, il n'y a pas d'autres fonctions [tex]f[/tex] telles que : pour certains [tex]x[/tex] du segment unité [tex]f'(x)=0[/tex] et pour d'autres [tex]x[/tex] de ce même segment [tex]f'(f(x))=1[/tex] qui soient solutions de l'exercice.. désolé si je répète des choses..

Quant au post #19, je crois que ma tentative de démonstration de la 2e partie dont l'hypothèse de départ est [tex]f([0;1])=[0;1][/tex] mène tôt au tard à une impasse..

On pourrait être tenté, de suivre le schéma de démonstration suivant, long et délicat, mais c'est pour la forme, et sachant que l'énoncé indique qu'on doit trouver [tex]f=constante[/tex] ou [tex]f=Id[/tex] :

1 er cas : [tex]f[/tex] est surjective sur le segment unité : [tex]f([0;1])=[0;1][/tex]
Alors 2 sous cas se présentent : a) [tex]f[/tex] est injective. Dans ce cas [tex]f[/tex] est bijective et [tex]f=Id[/tex] (post #18)
b) [tex]f[/tex] n'est pas injective alors elle ne peut être qu'une constante, parce qu'il existe alors au moins un couple [tex](a;b)[/tex] avec [tex]a[/tex] différent de [tex]b[/tex] du segment unité tel que [tex]f(a)=f(b)[/tex] (post#18 mais démonstration avortée)...

2 e cas : [tex]f[/tex] n'est pas surjective sur le segment unité. Et là encore les mêmes 2 sous cas se présentent :
a) [tex]f[/tex] est une constante si elle est injective pour la même raison que précédemment (cas b)
b) Elle n'est pas injective, alors on peut raisonner par l'absurde en posant qu'elle est l'identité. On a alors [tex]f([0;1]=[0;1][/tex] ce qui implique sa surjectivité contraire à l'hypothèse de ce 2e cas. Conclusion : [tex]f[/tex] est encore une constante.

Tout çà ne résout pas le problème posé par l'exercice, mais permet de le voir un peu autrement… et d'après ce qui précède :avec [tex]f[/tex] remplissant les conditions de l'énoncé : [tex]f[/tex] bijective sur le segment unité équivaut à [tex]f=Id[/tex]. .. c'est la seule chose démontrée.. Et si une application bijective est solution de cet exercice, alors elle ne peut être que l'identité..

Lectrice/lecteur si tu as eu la patience de me lire jusqu'ici, je t'en remercie

Dernière modification par Zebulor (10-01-2019 22:39:18)

freddy · 08-01-2019 16:48:19

Zebulor a écrit :

pour tout [tex]x[/tex] du segment unité, [tex]f'(x)*(f'(f(x))-1)=0[/tex] … ce qui permet une autre lecture et confirme ce qui est écrit dans le post #13 par M. Coste..

Salut,

cette expression est tout à fait convaincante, sans aucun doute :-)

j'attends maintenant que Monsieur Pipolo, qui poste à tout va, trouve le temps de venir remercier les contributeurs pour leur aide (on ne sait s'ailleurs si ça l'aide ...)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 31-12-2018 20:03:03

exercice super-important sur une fonction dérivable:

#2 01-01-2019 13:38:17

Re : exercice super-important sur une fonction dérivable:

#3 02-01-2019 15:05:35

Re : exercice super-important sur une fonction dérivable:

#4 02-01-2019 15:15:22

Re : exercice super-important sur une fonction dérivable:

#5 03-01-2019 14:30:22

Re : exercice super-important sur une fonction dérivable:

#6 03-01-2019 17:43:43

Re : exercice super-important sur une fonction dérivable:

#7 04-01-2019 15:55:41

Re : exercice super-important sur une fonction dérivable:

#8 04-01-2019 16:30:20

Re : exercice super-important sur une fonction dérivable:

#9 04-01-2019 16:39:28

Re : exercice super-important sur une fonction dérivable:

#10 04-01-2019 16:57:34

Re : exercice super-important sur une fonction dérivable:

#11 04-01-2019 17:20:27

Re : exercice super-important sur une fonction dérivable:

#12 04-01-2019 17:34:05

Re : exercice super-important sur une fonction dérivable:

#13 04-01-2019 17:45:38

Re : exercice super-important sur une fonction dérivable:

#14 04-01-2019 17:52:08

Re : exercice super-important sur une fonction dérivable:

#15 04-01-2019 18:05:57

Re : exercice super-important sur une fonction dérivable:

#16 04-01-2019 18:44:16

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#18 06-01-2019 10:28:12

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#25 08-01-2019 16:48:19

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