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ccapucine

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equations dans D'

Bonjour
j'ai l'exo suivant mais ma difficulté est pour les deux dérnieres questions. J'écris l'exo en entier car peut être qu'on pourra utiliser que question précédente.
1.
a- soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi(0)=0$. Montrer que
$\forall x \in \mathbb{R}, \varphi(x)=x \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$. En déduire qu'il existe $\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi= x \psi$.
b- Soit $\varphi_0 \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi_0(0)=1$. Montrer que
$\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}), \exists \psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \varphi= \varphi(0) \varphi_0+ x \psi$, et assurez vous que $\varphi \to \psi$  définie une application linéaire continue de $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ dans lui même.
2. Soit $T$ une distribution sur $\mathbb{R}$.
a- on suppose que $x T=0$. Montrer qu'il existe une constante $c$ telle que $T= c \delta$.
b- En déduire que si $(x-a)T=0$ alors il existe une constante $\alpha$ telle que $T=\alpha \delta_a$.
c- on suppose qu'il existe $a$ et $b$ deux réels distincts tels que $(x-a)(x-b)T=0$. Montrer qu'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $T= \alpha \delta_a + \beta_b$.
3- Soit $S$ une distribution sur $\mathbb{R}$. En utilisant la question 1-b, trouver une distribution $T_0$ telle que $xT_0=S$.

Je souhaite une indication pour la question 2-c et aussi pour la question 3. S'il vous plaît.

Bien cordalement

aviateur

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Re : equations dans D'

Sans réponse je supprime donc mon message.

ccapucine

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Re : equations dans D'

aviateur pourquoi as-tu supprimé ton message? D'autant plus que j'avais posté un "merci beaucoup"! Peux-tu reposter ta réponse s'il te plaît pour finir de l'étudier. Je pensais avoir les équations dans D' en exam mais le prof nous a prevenu finalement que ça ne serait pas pour tout de suite. C'est pour ça que j'ai mis de côté cet exo pour un temps!

aviateur

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Re : equations dans D'

J'ai eu l'impression que ma réponse était passée aux oubliettes.
2- c  En appliquant 2.b  à U=(x-b)T on a  [tex](x-b)T=\alpha \delta_a[/tex]
Maintenant [tex]<(x-b) \delta_a,\varphi>=  < \delta_a,(x-b)\varphi>= (a-b)\varphi(a)[/tex]
i.e  [tex](x-b)\alpha \delta_a=\alpha (a-b) \delta_a[/tex]
On a donc[tex] 0=(x-b)T-\alpha \delta_a=0=(x-b)T-\alpha \delta_a=(x-b)(T-\alpha/(a-b) \delta_a)[/tex] et on applique de nouveau  2.b.

3.    D'après  1. b [tex] <T_0,\varphi>=<S,\psi>[/tex] définit une distribution qui répond à la question.

ccapucine

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Re : equations dans D'

Non aviateur pas du tout. Merci beaucoup pour votre réponse, je vais l'étudier dès demain après midi. Merci beaucoup