Forum de mathématiques - Bibm@th.net

LyndaM

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Bijection réciproque

Bonjour,

En ayant traité plusieurs exercices, il y’a deux notions qui reviennent souvent qui ont l’air utiles pour la solution des exercices mais que je ne trouve nulle part dans mes cours:
Est-ce que une bijection et sa réciproque ont la même parité ? Et ont-elles le même sens de variation ?

J’aimerais vraiment savoir si c’est le cas.

Merci !

Dernière modification par LyndaM (28-12-2018 19:00:10)

Zebulor

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Re : Bijection réciproque

Bonsoir,

Sur un ensemble de définition de type [-a;+a] où a>0 quelconque, une fonction paire ne peut pas être bijective et n'a donc pas de réciproque sur ce même ensemble [-a;+a]. Exemple type la fonction carré.

Reste à étudier le cas d'une f fonction impaire.
Si cette dernière est bijective quelques calculs simples montrent que la fonction réciproque d'une telle fonction est elle aussi impaire.
Si f n'est pas bijective, alors sauf erreur sa réciproque n'existe pas toujours, voire jamais, bien que sur ce "jamais" j'ai un doute...

freddy

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Re : Bijection réciproque

Bonsoir,

Sur un ensemble de définition de type [-a;+a] où a>0 quelconque, une fonction paire ne peut pas être bijective et n'a donc pas de réciproque sur ce même ensemble [-a;+a]. Exemple type la fonction carré.

Reste à étudier le cas d'une f fonction impaire.
Si cette dernière est bijective quelques calculs simples montrent que la fonction réciproque d'une telle fonction est elle aussi impaire.
Si f n'est pas bijective, alors sauf erreur sa réciproque n'existe pas toujours, voire jamais, bien que sur ce "jamais" j'ai un doute...

Salut,

quel sens donnes tu à la fonction réciproque d'une fonction bijective ? et non bijective ? ...

Dattier

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Re : Bijection réciproque

Salut,

On peut lui donner un sens suffit d'avoir assez d'imagination.

Par exemple, si $f$ continue définie sur un compact $K$ : $g(x)=f^{-1}(x)=\max\{ f^{-1} (\{x\})\}$

avec $f^{-1}(A)=\{x \in K\text{ ; } f(x) \in A \}$ image réciproque.

Alors $\forall x \in f(K), f \circ g (x) =x  $, avec $g$ injective.

Cordialement.

Dernière modification par Dattier (28-12-2018 19:06:14)

LyndaM

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Re : Bijection réciproque

Bonsoir,

Sur un ensemble de définition de type [-a;+a] où a>0 quelconque, une fonction paire ne peut pas être bijective et n'a donc pas de réciproque sur ce même ensemble [-a;+a]. Exemple type la fonction carré.

Reste à étudier le cas d'une f fonction impaire.
Si cette dernière est bijective quelques calculs simples montrent que la fonction réciproque d'une telle fonction est elle aussi impaire.
Si f n'est pas bijective, alors sauf erreur sa réciproque n'existe pas toujours, voire jamais, bien que sur ce "jamais" j'ai un doute...

Effectivement je ne m’en étais pas rendu compte, que si f était paire elle ne pouvait pas être bijective, et pour tout les exercices que j’ai fais c’était en effet des bijections impaires qui revenaient

je vous remercie,
Cordialement.

Deugard

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Re : Bijection réciproque

Bonjour,

   La réciproque d'une bijection impaire f est toujours impaire, car : posant y=f(x) et x=g(y)
   (g étant donc la réciproque de f), et puisque f(-x) = -f(x), on a :
    g(-y) = g(-f(x)) = g(f(-x)) = (g.f)(-x) = -x = -g(y) .
   Par contre, aucune bijection ne peut être paire car si y=f(x)=f(-x), alors y possède deux
   antécédents x et -x .

Zebulor

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Re : Bijection réciproque

Bonsoir,

Pour répondre à Freddy voici ce que je propose :

Soit g la fonction réciproque d'une fonction bijective f définie soit sur un intervalle I=[-a;+a], a>0 ; soit sur l'ensemble des réels. Alors pour tout x de I, y=f(x) si et seulement si x=g(y).

La réciproque d'une fonction f non bijective définie sur ce intervalle I n'existe pas.

freddy

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Re : Bijection réciproque

Salut,

donc maintenant, tu es sûr : si une fonction n'est pas bijective, (sur des intervalles à préciser, bien sûr) elle n'admet pas de réciproque. Ça marche comme ça la droite réelle.

Dernière modification par freddy (29-12-2018 11:57:51)

Zebulor

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Re : Bijection réciproque

Salut..

la bijectivité comme condition nécessaire et suffisante de l'existence de la réciproque.. une démonstration intéressante à faire...bon we

freddy

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Re : Bijection réciproque

Salut,

c'est sûr qu'il s'agit d'une CNS, par définition même de la bijectivité mais il n'est pas garanti qu'on trouve l'expression analytique de la réciproque, c'est peut être cela que tu veux dire.

Zebulor

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Re : Bijection réciproque

Salut,

dans mon post 9 la CNS ne concernait que l'existence même de la réciproque. La question de son expression analytique ne m'avait pas traversé l esprit..