Intégrales suites

Mounkaila · 27-12-2018 20:12:42

Bonjour
On définit la suite (I_n) par I₀ =[tex]\int_0^1\sqrt{1-t^2}dt[/tex] et I_n=[tex]\int_0^1t^n\sqrt{1-t^2}dt[/tex] pour tout n€IN
1)on pose f(x)=[tex]\int_0^{cosx }\sqrt{1-t^2}dt[/tex] pour tout x€IR
a)Montrer que f est derivable sur IR puis calculer f'(x)

b) Déterminer f(x) pour x€[[tex]0; \frac{\pi}{2}[/tex]] puis en déduire la valeur de I₀

c) Interpréter graphiquement l'integrale I₀ et retrouver sa valeur

2)a) Montrer que la suite (I_n)est décroissante et minoré. Que peut-on en deduire ?

b) Montrons que pour tout n€IN ; 0<=I_n<=[tex]\frac{1}{n+1}[/tex] puis en déduire lim(I_n) en +oo

3)a) calculer I₁

b) À l'aide d'une intégration par parties , montrer que pour tout n€IN ; I_n+2=[tex]\frac{n+1}{n+4}I_n[/tex].

c) Montrer que pour tout n€IN ;
[tex]\frac{n+1}{n+4}[/tex]<=[tex]\frac{I_{n+1}}{I_n}[/tex]<=1 puis calculer lim([tex]\frac{I_{n+1}}{I_n}[/tex]) en +oo

4)a)Montrer par récurrence que pour tout n€IN ; I_n*I_n+1=[tex]\frac{\pi}{2(n+1)(n+2)(n+3)}[/tex]

b) prouver que lim(n[tex]\sqrt{n}I_n[/tex])=[tex]\sqrt{\frac{\pi}{2}}[/tex]

5) Montrer que [tex]I_{2n}=\frac{(2n)! \pi}{2^{2n+2}n ! (n+1)! }[/tex] et en déduire l'expression de I_2n+1
Pouvez vous me donner des indices pour ses questions ?

freddy · 28-12-2018 11:12:48

Salut,

c'est toujours le même refrain : tu nous donnes ton sujet à faire et nous, nous attendons de voir où tu en es et ce que tu as fait, où tu bloques et pourquoi tu n'arrives pas à avancer.
C'est la raison pour laquelle personne ne répond, on est fatigué de ce comportement de consommateur.
Donc prends toi en main, aide toi, et on verras si on t'aide.
C'est un sujet emprunté à un bac série C de lointaines années, c'est dire qu'on l'a fait, refait, re-refait ...
Up to you !

Mounkaila · 28-12-2018 11:54:26

Oui moi même j'suis en Terminale C
Je dois pas calculé la primitive de [tex]\sqrt{1-t^2}[/tex]
Pour pouvoir déterminer la fonction f(x) sans l'intégral

freddy · 28-12-2018 12:02:34

Re,

je ne comprends pas ce que tu dis ... désolé.

A aucun moment on te demande de calculer la primitive de cette fonction, faut passer par le raisonnement.

Dernière modification par freddy (28-12-2018 12:07:44)

Mounkaila · 28-12-2018 12:14:44

si g est la primitive de[tex]\sqrt{1-t^2}[/tex]
Alors f(x)=g(0)-g(cosx)

Mounkaila · 28-12-2018 12:18:31

Et s'il-vous-plaît pouvez-vous me dire ; dans quel sujet du bac cette sujet à été tiré ?

freddy · 28-12-2018 12:27:52

Non, je n'en sais rien, et $f(x)=G(\cos x)-G(0)$ sinon, ça fait désordre et tu vas te planter à la question suivante.

Dernière modification par freddy (28-12-2018 12:33:07)

Mounkaila · 28-12-2018 13:15:17

si g est la primitive de[tex]\sqrt{1-t^2}[/tex]
Alors f(x)=g(cosx)-g(0)
f'(x) =g'(cosx)-g'(0)=[tex]\sqrt{1-cos^2(x)}[/tex] -1
Appartir de ça je peux conclure que f est derivable sur R ?

Dernière modification par Mounkaila (28-12-2018 14:20:57)

freddy · 28-12-2018 14:16:47

Mounkaila a écrit :

si g est la primitive de[tex]\sqrt{1-t^2}[/tex]
Alors f(x)=g(cosx)-g(0)
f'(x) =g'(cosx)-g'(0)=[tex]\sqrt{1-t^2}[/tex] -1
Appartir de ça je peux conclure que f est derivable sur R ?

Oulla, t'es sûre des bêtises que tu écris ???
As - tu vu la dérivée de fonctions composées ? Celle d'une constante ?
Es - tu sûre de vouloir faire des maths au niveau d'une TC ?

Mounkaila · 28-12-2018 14:22:24

si g est la primitive de[tex]\sqrt{1-t^2}[/tex]
Alors f(x)=g(cosx)-g(0)
f'(x) =g'(cosx)-g'(0)=[tex]\sqrt{1-cos^2(x)}[/tex] -1

freddy · 28-12-2018 14:53:05

Mounkaila a écrit :

si g est la primitive de[tex]\sqrt{1-t^2}[/tex]
Alors f(x)=g(cosx)-g(0)
f'(x) =g'(cosx)-g'(0)=[tex]\sqrt{1-cos^2(x)}[/tex] -1

toujours faux !

Mounkaila · 28-12-2018 15:13:04

Qu'est ce que j'ai oublie qu'es ce que j'ai pas fait ?

freddy · 28-12-2018 15:22:26

Mounkaila a écrit :

Qu'est ce que j'ai oublie qu'es ce que j'ai pas fait ?

Tu n'as pas le niveau, ce n'est pas plus compliqué que ça.

Rappel : la dérivée d'une constante est égale à 0 !

et $f(g(x))' =g'(x)\times f'(g(x))$

Je passe la main, salut !

Mounkaila · 28-12-2018 17:03:03

Soit g une primitive de [tex]\sqrt{1-x}[/tex]
[tex]f(x)=[g(x)]^{cosx}_0= g(cosx)-g(0)[/tex]
f'(x)=g'(cosx)-g'(0)=[tex]-sinx\sqrt{1-cos^2x}+[/tex]1
Si g est une primitive de [tex]\sqrt{1-x}[/tex] alors g'(x) =[tex]\sqrt{1-x}[/tex]
g'(0)=[tex]\sqrt{1-0}[/tex]=1

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