Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bob

Invité

Extremum local T-S [Résolu]

Bonsoir,

on me demande (je crois qu'on abuse !) de montrer que f admet un extremum local en x si et seulement si tan(x) = 1/x   f(x) étant défini par xcos(x)

Je dis que f admet un extremum local si sa dérivée s'annule et change de signe.
f'(x) = cos(x) - xsin(x)
f'(x) = 0 => tan(x) = 1/x

v'la une bonne chose de faite, non ?
mais j'arrive pas à montrer (le faut-il vraiment ?) que f'(x) change de signe quand tan(x) = 1/x

une petite idée ?
Merci d'avance

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Votre Bob dévoué

Bob

Invité

Re : Extremum local T-S [Résolu]

Bon ben je vais vous avouer quelque chose, j'ai beau jouer aux gros bras je suis un p'tit gars qu'a plein de faiblesses...  en particulier .... les démonstrations avec des "si, et seulement si". Tout ça pour vous dire (allez soyons franc , pour te dire Yoshi) que si "vous" pouviez me concocter une petite rédaction aux petits oignons que j'afficherai au dessus de mon lit pour me servir d'exemples à toutes ces démo en "si, et seulement si" ça serait super bien.  Tout ce que je rêve sans jamais oser le demander ...

A+

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yoshi

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Re : Extremum local T-S [Résolu]

Salut Master Bob,

Je ne sais pas si t'es retourné voir, mais j'avais trouvé une autre méthode à ton exo sur les complexes et sans passer par z = a+ib. Je suis intéressé par la démo de ton prof...

Bon, en ce qui concerne ton sujet présent, sur quel intervalle travailles-tu ?
Tu as tanx - 1/x > 0 si tan x > 1/x et tanx -1/x <0 si tan x < 1/x...

Je pense si on veut aller au fond des choses qu'il suffit de trouver un exemple de chaque et montrer qu'il est bien possible de trouver x tel que tan x > 1/x  et un autre pour tan x < 1/x : sur ]0,pi/2[ tan x  croissante et 1/x décroissante, donc sur cet intervalle déjà c'est possible.

Mais ce soir j'ai plus les idées claires...

@+

Bob

Invité

Re : Extremum local T-S [Résolu]

Ben Yoshi on me donne pas d'intervalle d'étude. Il est même dit :
"cet exercice propose l'étude de f et de sa courbe dans un repère d'origine O" . ça nous laisse de l'espace !!!

Pour l'exo sur les complexes je vais revoir ta sol. et t'indiquerai celle du prof

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Bob

Invité

Re : Extremum local T-S [Résolu]

Yoshi, effectivement j'avais déjà vu ta sol. sans passer par a + ib. Trés joli mais pas facile facile à suivre mais j'y étais toutefois arrivé, un peu grâce à la remarque du trés rare Ybebert...

je recherche la sol du prof, on avait fait avec a + ib et une autre en prenant les conjugués qui ressemble un peu à la tienne...

Bonne nuit à toutes et tous ........................................;

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yoshi

Modo Ferox

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Re : Extremum local T-S [Résolu]

Salut Bob,

Et merci de ta diligence (comme on disait au Far West). J'attends la soluce de ton prof, elle m'intéresse, c'était lLA raison de mon rappel...

Bon, pour x = 0,85 rad, tan x - 1/x <0, et pour x = 0,87 rad,  tan x - 1/x >0.
On fait donc ainsi la preuve que tan x - 1/x change de signe...
Trouver la valeur exacte est hors de portée d'un élève de TS...

@+

Bob

Invité

Re : Extremum local T-S [Résolu]

Salut Yoshi,

V'la la sol. du prof ... pas facile facile à suivre ... m'enfin au bout de 10 minutes j'y arrive ....

J'appelerai Z* le conjugué de Z car si Latex peut être appréciable en certaines circonstances, en math il gacherait le plaisir et ça serait dommage ;-))

Z² + 2Z*  = -1   (1)

Le conjugué de (1) entraine

Z*² + 2Z = -1   (faut déjà le voir !!!!)

Une soustraction membre à membre donne

Z²  - Z*² = 2(Z – Z*)

(Z-Z*)(Z+Z*) = 2(Z-Z*)

Soit Z-Z* = 0  donc Z réel et l’équation devient Z² +2Z + 1 = 0  soit Z=-1

Soit Z+Z* = 2 soit Z* = 2 –Z et (1) devient Z² -2Z -3 = 0 => Z = 1 +2i et Z = 1 -2i

faut s'accrocher .....

Pour revenir à nos (mes) moutons, comment je peux bien rédiger que f admet un extremum local si, et seulement si tan(x) = 1/x ??? Déja pas facile de faire voir que ça change de signe et de plus le si, et seulement si m'enquiquine bougrement....

Encore merci de ton (votre) aide

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Fred

Administrateur

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Re : Extremum local T-S [Résolu]

Salut,

  Une façon de faire.
On a f'(x)=cos(x)-xsin(x)
En un point où cos(x) ne s'annule pas (si cos(x)=0, f'(x) est non nul...)
on a f'(x)=cos(x)(1-x tan(x)).

Si f admet un extrémum local en x, alors f'(x)=0
et donc 1-x tan(x)=0.

Réciproquement, soit x0 un point tel que 1-x0tan(x0)=0.
Comme la fonction x->1-xtan(x) est strictement décroissante sur chaque intervalle ]-pi/2+kpi, pi/2+kpi[,
elle va changer de signe en x0. Donc f' aussi et x0 est effectivement un extrémum local de f.

F.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Extremum local T-S [Résolu]

Salut Bob,

Solution intéressante effectivement proche de la mienne. Je regarde ça, par écrit, tout à l'heure.

Revenons aux moutons de Bob le berger.
Petite remarque.
La phrase :

Comme la fonction x->1-xtan(x) est strictement décroissante sur chaque intervalle ]-pi/2+kpi, pi/2+kpi[

n'est pas utilisable en l'état, ce n'est pas un résultat du cours. Tu ne pourras donc pas faire l'économie d'une petite justification, simple certes, mais d'une justification quand même.
Cela va sans dire, mais encore beaucoup mieux en le disant, selon la formule consacrée....

@+

ybebert

Membre

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Re : Extremum local T-S [Résolu]

Salut Bob,

Tu parles du "rare Ybebert" mais sais-tu que tout ce qui est rare est cher (à notre coeur... en la circonstance !)

Bon courage pour ta T-S . ça m'a l'air bien parti!
A+