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Seb12

Invité

Polynôme degre 4

Bonsoir à tous,
Je suis actuellement bloqué sur un exercice de l'aide serait la bienvenue merci d'avance à ceux qui prendront le temps de me répondre.

On pose P(x)= x^4 -5x^3 + 9x^2 -15x +18
On rappelle les relations entre les racines (α, β , γ et δ ) de ce polynôme et les coefficients du polynôme de degre 4 :
P(x)= x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d

Système * :

α + β + γ + δ = -a
αβ +  αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = b
αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = -c
αβγδ = d

Questions :

1) Résoudre le système
x+y =5
xy=6

2) Soit P(x)= x^4 -5x^3 + 9x^2 -15x +18. Écrire le système * pour ce polynôme et on appellera α, β , γ et δ ses racines.

3) Sachant que αβ= 6 trouver les racines de P(x)

4) En déduire la factorisation de P(x).

Voilà pour les question si jamais je vous ai mis la question 1) mais j'y ai répondu jai trouvé une equation du second degré avec deux solution x1 = 2 et x2 = 3.
La question 4) je pense faire une division euclidienne mais par contre question 2 et 3 je bloque totalement.

aviateur

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Re : Polynôme degre 4

Bonjour
Puisque [tex]\alpha\beta=6[/tex]  p(x) admet une factorisation de la forme
[tex]p(x)=(x^2+s1x+6)((x^2+s2x+3).[/tex] En redéveloppant on trouve 3 relations pour s1 et s2
dont  3 s1 + 6 s2=-15 et  s1+s2=-5 d'où  s1=-5  s2=0. 
Finalemeent 
[tex]p(x)=(x^2-5 x+6)((x^2+3)=(x-2)(x-3)(x-i \sqrt{3})(x+i \sqrt{3})[/tex]
Cela aurait été plus intéressant de ne pas avoir d'indication.

Seb12

Invité

Re : Polynôme degre 4

Oui en factrorisant je trouve bien (x-2)(x-3)(x^2+3) mais je comprend pas très bien en fait ce que demande de faire la question 2 et 3 parce que la factorisation est à la question 4.  En tout cas merci de m'avoir répondu.

aviateur

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Re : Polynôme degre 4

Et bien les questions 2 et 3,  ceux des indications pour faire la question (4)  mais en suivant l'idée de l'auteur (qui a priori n'est pas forcément la meilleure)
Perso  je préfère suivre mon idée que celle des autres.
Maintenant si on est scolaire on peut s'amuser à suivre les indications, mais de toute façon d'autres l'on fait sur l'autre forum où tu as aussi posé la question.

Black Jack

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Re : Polynôme degre 4

Bonjour,

Comme suggéré par l'auteur (je pense aussi que ce n'est pas forcément la meilleure manière)

α + β + γ + δ = -a
αβ +  αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = b
αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = -c
αβγδ = d

α + β + γ + δ = 5
αβ +  αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = 9
αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = 15
αβγδ = 18

Mais on donne (gentiment) :  αβ= 6 et donc γδ = 18/6 = 3

α + β + γ + δ = 5
αγ + αδ + βγ + βδ = 0
6γ + 6δ + 3α + 3β = 15

α + β + γ + δ = 5
(α + β).(γ + δ) = 0
2(γ + δ) + (α+β) = 5

de (α + β).(γ + δ) = 0, on tire :

1°) soit (α + β) = 0

γ + δ = 5
2(γ + δ) = 5

Ce qui est impossible
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2°) Soit (γ + δ) = 0
--> (α+β) = 5
on a aussi :  αβ= 6
et donc (voir question 1) -->  α = 3 et  β= 2 (ou le contraire, peu importe)

on a aussi : γ = -δ et αβγδ = 18 --> γδ = 18/(3*2) = 3

Et donc -γ² = 3
γ = -V3.i et δ = V3.i (ou le contraire, peu importe)

Les racines de P(x) sont donc : -V3.i , V3.i, 2 , 3
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