DM Fonction valeur absolue

samp · 23-12-2018 19:15:21

Bonjour,
je bloque sur un exercice de maths comprenant des valeurs absolues, le voici ;

λ désignant un nombre réel positif, on pose fλ (x) = |x-1| + 2|x-2| + λ|x-4| pour x>=0.

a) tracer sur la calculatrice les représentations graphiques de f2, f3, f4 et conjecturer sur les valeurs de x pour lesquelles fλ (x) admet un minimum

b) Démontrer ces résultats en simplifiant fλ (x)

Alors pour la a) j'ai tracé les trois fonctions sur ma calculatrice en remplaçant λ par 2, 3 et 4, et j'ai pu conjecturer que le minimum de f2 (x) est atteint pour x=2
minimum de f3 (x) atteint pour les valeurs de x comprises dans l'intervalle [2;4]
minimum de f4 (x) atteint pour x=4

Pour la b), je suppose qu'il faut faire les deux hypothèses "si x-1 >0 alors... et si x-1<0 alors...." mais je ne sais absolument pas comment m'y prendre

Merci !

yoshi · 23-12-2018 19:29:47

Re,

x-1 <0 pour x<1
x-2 <0 pour x<2
x-4 <pour x<4

Dresse un tableau de 4 zones :

-oo 1 2 4 +oo
|x-1| -x+1 x-1 x-1 x-1
|x-2| -x+2 -x+2 x-2 x-2
|x-4] -x+4 -x+4 -x+4 x-4
|x-1|+|x-2|+$\lambda$|x-4| ..... ..... ...... .......

Si tu n'as jamais vu ce procédé, tu peux difficilement l'inventer !

@+

samp · 23-12-2018 19:37:05

merci de votre réponse, mais ne faut-il pas mettre les coefficient 2 avant la valeur absolue |x-2| du tableau ?

yoshi · 23-12-2018 19:44:40

Re,

Oui, je l'ai zappé, en fait je ne l'avais même pas vu...
En dernière ligne comme le $\lambda$, c'est suffisant.

@+

samp · 23-12-2018 19:46:56

très bien, donc une fois que le tableau est fait, que faut-il faire ??

yoshi · 23-12-2018 19:53:46

Re,

Tu auras en additionnant en colonne, une simplification par colonne, puisque dans chaque colonne, tu remplaces la valeur absolue :
1ere colonne :
[tex]f_{\lambda}(x)= -x+1 +2(-x+2)+\lambda(-x+4)[/tex]

@+

samp · 23-12-2018 20:08:47

Donc cela donnerai :
1ère colonne : -x+1 + 2(-x+2) + ?(-x+4)
2ème colonne : x-1 + 2(-x+2) + ?(-x+4)
3ème colonne : x-1 + 2(x-2) + ?(-x+4)
4ème colonne : x-1 + 2(x-2) + ?(x-4)
Donc on a f? (x) simplifié comme demandé dans la question b), mais en quoi cela démontre les résultats de la a) ??
merci

samp · 23-12-2018 20:10:25

Désolé mais apparemment mes lambda ont été remplacés par des points d'interrogation...

yoshi · 23-12-2018 20:40:11

Re

Dans le tableau, écris 0 au lieu de -oo puisque x >=0
Et si tu réduisais :
[tex]f_{\lambda}(x)= -x+1 +2(-x+2)+\lambda(-x+4)=-x+1-2x+4-\lambda x+4\lambda=-3x-\lambda x+5+4\lambda[/tex]
Puis x en facteur :
[tex]f_{\lambda}(x)= -x+1 +2(-x+2)+\lambda(-x+4)=-(3+\lambda) x +5+4\lambda[/tex]
qui est une fonction affine... décroissante puisque $\lambda>0$ et donc [tex]-(3+\lambda)<0[/tex]
et remplaces $\lambda$ par 2,3 et 4 on pouvait faire ces remplacements immédiatement avant développement/réduction.

Pour moi, il faut calculer f2, f3, f4 dans chaque zone et je trouve la question 1 bizarre, parce que simplifier
$f_{\lambda}(x)$ c'est procéder proprement avec le tableau...

Là, je suis obligé d'abandonner mon PC fixe...
Je vais brancher mon portable 10 min parce que demain, lever 5 h !...

@+

yoshi · 23-12-2018 21:21:54

Re,

Pour $\lambda=2$
on obtient une fonction affine sur l'intervalle [0 : 1[ elle décroit : mini pour x =1
puis une fct affine sur [1 ; 2]
etc ...
Voilà $f_2(x)$ obtenue après les simplifications (une courbe en 4 morceaux) :

Avec les simplifications par colonne, tu peux justifier que f2 est décroissante de 0 à 2, croissante ensuite...
*Donc que f2 est min pour x=2

Rebelote pour f3 et f4

@+

Samuel pascal · 23-12-2018 21:48:33

Vous avez remplacé lambda par 2 dans l'expression − ( 3 + λ ) x + 5 + 4 λ ?
Enfait il ""suffirait"" de calculer les images de 0, 1, 2, 4 pour chaque zone
puis en déduire les variations
puisque la fonction est monotone sur chacun des intervalles ?

samp · 23-12-2018 22:05:20

mince ça c'était moi ...
Je me mélange dans ma tête, je confond x avec λ , il me perturbe ce λ !!!
De plus que faire des différentes écritures de la fonction selon l'intervalle ?
Faut-il remplacer lambda ou x ?
Je trouve ce problème relativement compliqué par rapport à ce que mon prof à l'habitude de mettre.....
merci de votre patience...

yoshi · 24-12-2018 13:47:43

Bonjour,

J'ai fait mes 450 km et me revoilà

Pour $\lambda =$2, 3 et 4 tu obtiens 3 fonctions f2, f3, f4 qui sont des fonctions affines par parties.
La courbe représentative de chacune de ces 3 fonctions f2, f3, f4 est la succession de 4 morceaux :
* un segment sur [0 ;1]
* un segment sur [1 ; 2]
* un segment sur [2 ; 4]
* une demi-droite sur [4 ; +oo[

La courbe f2 est
* décroissante sur [0 ; 1]
* décroissante encore sur [1 ; 2]
* croissante sur [2 ; 4]
* croissante sur [4 : +oo[

Comment est-ce que je le sais ? Ou toi tu peux le savoir
Je te rappelle alors qu'une fonction affine f(x)=ax+b est croissante ou décroissante selon que le coefficient directeur a est positif ou négatif...
La représentation graphique d'une fonction affine simple, classique (comme vue en 3e) est une droite, et une droite ne change pas de direction
elle monte ou elle descend, elle est horizontale ou verticale
lareprésentain graphique de f2 figure dans mon post précédent....
Sur [0 ;1] le morceau de f2 est un segment de la droite d'équation y =-5x+13

Et non, il ne "suffit" pas d'avoir les ordonnées des points d'abscisse 0 et 1, il faut encore savoir qu'elle est monotone (et comment le sais-tu ?). Ton prof t'a demandé de simplifier l'écriture de $f_{\lambda}$ puis de retrouver les résultats du 1.
Avec tes 4 morceaux de fonctions affines qui composent f2, grâce à leurs coefficients directeurs, tu vas pouvoir dire que "globalement",
f2 est strictement décroissante sur [0;2] puis strictement croissante sur [2 ; +oo[...
Et donc qu'elle passe par un minimum pour x =2

Et tu recommences pour $\lambda=3$ et $\lambda=4$...
C'est inhabituel, original, mais pas difficile.
La seule difficulté et je te l'ai dit tout de suite, c'est comment gérer "proprement" les inégalités résultant des suppressions des valeurs absolues : le plus simple étant le passage par un tableau et là, oui, si tu ne l'as jamais vu, tu auras du mal à y penser...

Tableau plus précis :
(avec les signes justificatifs permettant le remplacement des valeurs absolues

0 1 2 4 +oo|
-------------------------|----------------|---------------|-----------------|----------------------|
x-1 | - | + | + | + |
|x-1| | -x+1 | x-1 | x-1 | x-1 |
-------------------------|----------------|---------------|-----------------|----------------------|
x-2 | - | - | + | + |
|x-2| | -x+2 | -x+2 | x-2 | x-2 |
-------------------------|----------------|---------------|-----------------|----------------------|
x-4 | - | - | - | + |
|x-4] | -x+4 | -x+4 | -x+4 | x-4 |
-------------------------|----------------|---------------|-----------------|----------------------|
|x-1|+|x-2|+λ|x-4| | ...... | ...... | ...... | ...... |

@+

Dernière modification par yoshi (24-12-2018 14:14:25)

samp · 24-12-2018 14:22:02

tout d'abord merci pour cette réponse très complète !
Donc pour λ=2 cela donnerai:
pour l'intervalle [0;1[ :
on a l'expression -x(λ+3)+λ4+5 et en remplaçant λ par 2 cela donne -5x+13 donc la fonction est décroissante (a<0)
[1;2[ :
on a l'expression -x(λ+1)+λ4+3 et en remplaçant λ par 2 : -3x+11 donc la fonction est toujours décroissante
]2;4[
-x(λ-3)+λ4-5 donne x+3 donc la fonction f2 devient croissante
[4;+inf[
x(λ+3)-λ4-5 donne 5x -13 donc la fonction est toujours croissante

Puisque la fonction f2 (x) subit un changement de variation entre les intervalles [1;2[ et ]2;4[, on peut déduire que le minimum admis pour cette fonction est atteint pour x=2 , ce qui confirme le résultat vu en a).

Ensuite je recommence pour les deux autres...
Mais comment prouver qu'elle est monotone ???

samp · 24-12-2018 14:24:04

Merci pour le tableau, c'est exactement ce que j'ai fait

yoshi · 24-12-2018 14:55:48

Re,

La monotonie est implicite dans le cas d'une fonction affine, non ?
Qu'est-ce que tu veux faire de la monotonie ?

tes fonctions affines dont les morceaux composent f2, f3, f4 sont soit croissantes, soit décroissantes... Ca ne te suffit pas pour trouver le minimum...
La minimum c'est bien la valeur atteinte par une fonction lorsqu'elle cesse d'être décroissante pour devenir croissante, non ?
Et bien sachant que f2 est décroissante sur [0 ; 1 ] puis de nouveau décroissante sur [1 ; 2| ne te suffit pas pour dire qu'elle est décroissante sur |0 ; 2] ?
Q'est-ce qui te chagrines ?
La jointure ?
C'est à dire par ex
sur [0 ; 1], f2(1) vaut 8
et sur [1 ; 2], f2(1) vaut 8
Iln'y a pas de rupture de continuité
Et pour f2(2) :
sur [1 ;2], f2(2)=5
sur [2 ;4], f2(2)= 2+3=5
On repart bien du même niveau....

@+

samp · 24-12-2018 15:13:30

je ne comprends pas qu'est ce que vous voulez dire par jointure, sinon je comprend tout à fait la solution, et je sais qu'une fonction affine est monotone, mais qu'y-a-til a ajouter à mon résultat ?

yoshi · 24-12-2018 18:03:57

Salut,

j'ajouterais un tableau de variation de ce type pour f3 et f4

Comme ça, plus de discussion :
Sur [0 ; 1] f2(x) décroit de f(0)=13 à f2(1)=8, puis sur [1 ; 2] décroît de f2(1)=8 à f(2)=5, sur [2 :4] f2(x) croît de f2(2)= 5 à f2(4)=7, puis sur [4 ; +oo[ croît de f2(4)=7 à +oo.
Ainsi tu montres à ton prof que tu as vérifié que $f_{\lambda}(x]$ au changement d'intervalle repart du même point que celui sur lequel elle est arrivée...
Pour f2(x) ce sont les points de coordonnées (1, 8), (2 ; 5) et (4 ; 7).

@+

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