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mati

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Convergence dans D

Bonjour
j’essaye d’étudier la convergence dans $D(\mathbb{R})$ de la suite de fonctions tests $\eta_n = 1/n \phi (nx)$ où $\phi \in D(\mathbb{R})$.
On trouve que $\eta_n$ converge simplement vers $\eta=0$.
J’essaye maintenant d’étudier la convergence uniforme de $\eta_n$ et ses dérivées. On a
$$\lim_{n \to + \infty} \sup_{x \in K} | D^{\alpha} \eta_n(x) - D^{\alpha} \eta(x)|
= \lim_{n \to +\infty} n^{\alpha -1} \sup_{x\in K}|D^\alpha \phi(nx)|.$$

La question est comment on sait si $\displaystyle\sup_{x\in K} |D^\alpha \phi(nx)|$ dépend de $n$ ou pas ? Et si oui comment il dépend de n ? Pour pouvoir calculer la limite.
Bien cordialement

Dernière modification par yoshi (01-12-2018 13:33:38)

Fred

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Re : Convergence dans D

La question est comment on sait si $\displaystyle\sup_{x\in K} |D^\alpha \phi(nx)|$ dépend de $n$ ou pas ?

Ca ne dépend pas de $n$, puisque tu prends la norme infinie...

mati

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Re : Convergence dans D

Bonjour Fred
je ne comprend pas comment le fait que la norme soit infinie fait que $\sup_{x \in K}|D^\alpha \varphi(nx)|$ ne dépend pas de $n$. Qu'est ce qui empêche le $\sup \varphi(nx)$ de dépendre de $n$?

Fred

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Re : Convergence dans D

Parce que tu prends le sup sur $\mathbb R$. Et quand $x$ parcourt $\mathbb R$, $nx$ parcourt lui aussi $\mathbb R$ (autrement dit, $x\mapsto nx$ est une bijection de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$).

F.

mati

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Re : Convergence dans D

ceci n'est valable que pour les fonctions bornées? Et si la fonction n'est pas bornée? est ce que les deux $\sup$ sont égaux?

Fred

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Re : Convergence dans D

Bornée ou non aucune importance !