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lili73

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exercice avec des fonctions [Résolu]

salut,

j'ai un exercice à faire pour dans une semaine je me suis déjà penchée dessus et je bloque  complètement à pas mal d'endroits. en tout il y a une quinzaine de questions je vous donne qu'une partie....
pourriez-vous me donner des petits trucs pour que je puisse les résoudre SVP:

soit f et g deux fonction dérivables sur R et qui verifient les propriétés suivantes:
(1) Pour tout réel x, [f(x)]²-g(x)=1 ;
(2) Pour tout réel x, f(x)=g'(x) ;
(3) f(0)=1

Questions:
1) a)  Démontrer que pour tout réel x, f(x) différent de 0.
    b)  Calculer g(0).

2) Démontrer que pour tout réel x, g(x)=f'(x). (il faut utiliser (1) je crois).

3) On pose u=f+g et v=f-g
   a) Démontrer que u'=u et v'=v. (sachant qu'avant on nous a demandé de calculer u(0) et v(0))
   b) Déterminer les fonctions u et v.

4) En déduire les expressions de f(x) et g(x)

donner moi juste la manière de trouvé les reponses  que je vous soumettrai plus tard   

merci de votre aide....

pin-pon

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Re : exercice avec des fonctions [Résolu]

Bonjour
Houlala n'y aurait-il pas des coquilles dans l'énoncé et/ou dans les questions.

Il faudrait vérifier (1) et (2) parce que tout ça me parait étrange en l'état  - les questions posées ne correspondent pas au problème tel qu'il est écrit me semble t'il...

Avec f(x) = (1/2)x + 1   et g(x) = (1/4) x² + x on tient bien une solution du problème non ? ! je dis des bêtises ???

Dernière modification par pin-pon (29-09-2007 17:42:53)

yoshi

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Re : exercice avec des fonctions [Résolu]

Bonjour,

Ma réponse sera incomplète --> Pour l'instant ta question 2. me laisse coi, ça viendra sûrement, faut juste que je laisse l'idée me trouver...

Bon...
Question 1. a) On demande f(x) <> 0 quel que soit x . Réfléchis à tes données...
b) Sachant que f(0) = 1, il est assez facile de calculer g(0).

Question 2. Je suis parti sur la dérivée des 2 membres de l'égalité (1). Mauvaise piste ? Parce que là, je ne vois plus... On verra.

Question 3. a) Il y a sûrement une erreur, ce n'est pas v = v', mais v = -v'. Assez facile à faire puisqu'on a prouvé avant que f' = g et que f = g'. Il sufft d'écrire u' et v' en fonction de f' et g' et d'utiliser ce qui précède.
b) Pour u... Quelle est la seule fonction, à part la fonction nulle (mais ici f(x) <>0) qui est égale à sa dérivée ? Quand t'auras trouvé u, pour v ce sera un simple prb de signe différent, puisqu'au signe près, on peut se poser la même question que pour u...

Question 4. Sachant que u = f + g et v = f - g, on peut exprimer facilement f et g en fonction de u et v.

@+

[EDIT]
grillé par pin-pon, mais j'ai f(x) et g(x)...
10 min après : Tout colle, sauf le (1). Bizarre...
Y a-t-il bien une erreur pour v' = v ? Ce que j'ai fait repose sur v' = -v !

yoshi

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Re : exercice avec des fonctions [Résolu]

Bonsoir,

Non, pin-pon quelque chose ne colle pas :
Si f(x) = (1/2)x + 1   alors f'(x) = 1/2 et f'(x)<> g(x) puisque ton g(x) = 1/4x²+x  ; par contre tu as bien g'(x) = f(x).

Lili73 :
Ne manquerait-il pas un 2e carré dans le (1) ? S'il manque bien un carré, je fais la question 2...

@+

PS
L'énoncé doit être : [tex][f(x)]^2-[g(x)]^2=1[/tex]
Avec pour la 3e question, effectivement, le correctif v' = -v...
Moyennant quoi, tout se tient. Le seul codicille que j'aie à rajouter pour achever mon "oeuvre" d'aide à Lili, concerne la 2e question :
- Mon intuition était bonne,
- On rajoute une factorisation,
- On n'oublie pas que  f(x)<>0 (différent de 0) quel que soit x

Manque plus que la confirmation de la demoiselle en détresse...

Dernière modification par yoshi (29-09-2007 23:19:47)

pin-pon

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Re : exercice avec des fonctions [Résolu]

OK !!!

Bravo Yoshi.

Mes fonctions  f et g vérifiaient bien les conditions de l'énoncé : mon problème ce qu'effectivement les questions ne collaient plus du tout.
Mais sous la forme f²-g²=1 c'est beaucoup mieux...

yoshi

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Re : exercice avec des fonctions [Résolu]

Bonjour,

Lili73, soit tu n'as pas accès à Internet depuis 3 jours, soit tu as trouvé sans nous (il fallait dans ce cas venir le dire, soit permets-moi de trouver que ton exercice ne te préoccupe pas tellement : tu as des réponses depuis 72 h déjà : tu n'as pas donné signe de vie et il te reste une onzaine de questions à traiter en 4 jours...

Au plaisir de  te lire.

PS
Attention pin-pon, il ne faudrait pas que, à cause de raccourcis malheureux (toi, tu te comprends), notre amie Lili73 se mette à confondre  f² = f o f,
avec [f(x)]² qui est la composée de f et de h tel que h(x) = x² (précision à destination de lili, si besoin est, naturellement). Dans ce cas, elle ne manquerait pas de faire un signalement, et on aurait l'air malin...

lili73

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Re : exercice avec des fonctions [Résolu]

salut yoshi  et pin-pon,
je m'excuse de ne pas vous avoir repondu  plus tot mais j'avais un petit pb de conexion et donc ds l'incapacité de vous répondre... dsl

merci de m'avoir répondu aussi rapidement et vos explication très explicite.je me mets dès cet après midi au travail pour mes autres questions. a +
PS: il y avait bien des erreurs ds mon énoncé, j'en suis désolée. Ainsi [f(x)]²-[g(x)]²=1 et pour la question 3) b) v'=-v

Dernière modification par lili73 (03-10-2007 13:02:46)

yoshi

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Re : exercice avec des fonctions [Résolu]

Bonsoir,

Pas de problème... On s'inquiétait pour toi.
Et si besoin est, on attend la suite !
;-)

@+

lili73

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Re : exercice avec des fonctions [Résolu]

bonjour,

j'ai besoin d'une petite précision pour la question 2:
Yoshi,tu dis qu'il faut dériver les deux membres, tu parle de [f(x)]² ou juste de f(x)  et pareil pour g?

sinon pour la quetion 1:

a) je montre grace à (1) que f(x)<>0 en faisant le calcul

b) g(0)=0 tjr calculer avec (1)

question 3:
a)u(0)=1 ainsi que v(0)
b)u'=u et v'=-v car on sait que f=g' donc f devient g et inversement.
c)je ne vois pa du tt quelle est sa dérivée qui est égale à elle même.

question 4

je cherche encore mais je croi que je m'approche.

un petit coup de pouce ne sera pas de refus
merci  :D

a+

yoshi

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Re : exercice avec des fonctions [Résolu]

Bonsoir,

Question 1 : La réponse est triviale : on ne peut avoir f(x)=0 qq st x car alors sinon f(0)=0. Or f(0) = 1...

Question 2 : Quand je parle de dériver je parle de faire :
[tex][f(x)^2-g(x)^2]' = 0[/tex]
Et pour dériver, il faut penser que (U-V)' = U' - V'  et que (W²)' = 2W'W

Question 3... Alors là, si tu ne vois pas, j'espère que tu as bien vu cette fonction, sinon on est mal... C'est [tex]u'=(e^x)' = e^x[/tex]
D'où [tex]v'=(e^{-x})' = -e^{-x}[/tex]
Voilà pourquoi je disais : on peut se poser la même question au signe près...
Question 4. A partir du 3. c'est très simple... Sans le 3. infaisable...

Là, il nous faut vraiment savoir si tu as vu la fonction exponentielle, parce que sinon, je ne vois pas d'autre fonction telle que u' = u...

Bon, et les autres questions ? Le temps presse maintenant...

A te lire

PS Je modifie ma réponse à la 1ere question... Je l'avais mal lue et.ou mal comprise...
Jr vais te mettre sur la voie :
Supposons s'il existe un x tel f(x) = 0, qu'est ce qu'il se passe dans ce cas avec l'égalité  [tex]f(x)^2-g(x)^2 = 1[/tex] ?
N'aboutirait-on pas sur une impossibilté ?

Dernière modification par yoshi (04-10-2007 19:55:53)

lili73

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Re : exercice avec des fonctions [Résolu]

bonjour,

tout s'éclaire......merci!!!
j'arrive à la fin de mon exercice, les autres questions ne me posent pas trop de problème, je peux m'en sortir seule.

pour celles pour lesquelles je vous est demandé de l'aide commence à ne plus me poser de problème.

merci bcp

a+

PS j'ai bien vu les fonction exponentielle.

yoshi

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Re : exercice avec des fonctions [Résolu]

Salut,

Tu m'en vois très heureux...
A tout hasard et pour validation du 4) :

[tex]f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\;\text{ et }\;g(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/tex]

En principe, je n'en ai pas fait mention avant, mais on devrait même écrire que u est telle que :

[tex]u(x)=a.e^x[/tex]

Même chose pour v :

[tex]v(x)=b.e^{-x}[/tex]

D'où

[tex]f(x)=\frac{a.e^x+b.e^{-x}}{2}\;\text{ et }\;g(x)=\frac{a.e^x-b.e^{-x}}{2}[/tex]

Or, pour avoir f(x) = g'(x), il faut que a = b. De plus on sait que f(0) = 1. On arrive donc à : a = b = 1 et au résultat donné plus haut...

Je n'ai pas voulu t'embêter avant avec ça... J'ai pensé qu'il valait mieux que tu concentres sur la résolution simple, pour mieux raffiner après.

@+

lili73

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Re : exercice avec des fonctions [Résolu]

bonsoir,

tu viens de confirmer ce que j'ai trouvé pour les fonctions.
je suis maintenant sur de mes résultats et je les ai parfaitement compris...
MERCI

à bientot.