Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Laurenzo

Membre

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Messages : 1

recurrence / matrice

Bonjour,
Je n’arrive pas à prouver par récurrence l’affirmation suivante :
D’apres l’ennoncé A est une matrice 2*2 avec : A1,1=1/3 ; A1,2=2/3 ; A2,1=1/2 ; A2,2=1/2 
Et A^2=aA+bI2
On trouve a = 5/6 et b = 1/6
On doit prouver que : pour tout n appartenant à N , il existe (an;bn) appartenant à R^2 , on a : A^n = an*A + bn*I2
En attente de votre aide
Merci
Enzo

gruel

Invité

Re : recurrence / matrice

vrai pour n donc il existe an et bn tel que A^n= anA+bnI
or A^n+1= A*A^n
d'où A^n+1=A*(anA+bnI) =an(5/6A+I/6)+bnA =(5/6an+bn)A +anI/6
donc il existe a"n;b'n tel que A^n+1= a'nA+b'nI
vrai pour n+1

Cheminaud

Invité

Re : recurrence / matrice

Merci pour votre réponse aussi rapide ,
Je bloque sur une autre question ,
https://share.icloud.com/photos/04vLFS2 … BUQXSyzMrA
C’est écrit en anglais mais c’est facile à comprendre normalement, je bloque sur la question ii) je n’arrive pas à écrire B grâce à la binomial extension .
Merci par avance pour votre aide.

Dernière modification par yoshi (02-11-2018 11:12:11)

Michel Coste

Membre Expert

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Re : recurrence / matrice

Lorenzo ou Cheminaud ?
As-tu écrit la matrice [tex]A[/tex] comme demandé, en termes de [tex]I_3[/tex] et [tex]J[/tex] ?
Tu connais la formule du binôme [tex](a+b)^n =[/tex] ?

Dernière modification par Michel Coste (02-11-2018 11:44:24)

Cheminaud

Invité

Re : recurrence / matrice

Cheminaud et laurenzo c’est la même personne ,
Oui je l’ai écrit : B=1/2(I3+J)
Oui je connais la formule de (a+b)^n

Michel Coste

Membre Expert

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Re : recurrence / matrice

Eh bien alors, qu'est-ce qui t'arrête ?

Cheminaud

Invité

Re : recurrence / matrice

Bonjour,
Sur l’URL suivant je n’arrive pas à développer l’expression pour trouver B^n
https://share.icloud.com/photos/0F1PcwL … SxHsRti4Jg

Merci pour votre aide

Michel Coste

Membre Expert

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Re : recurrence / matrice

Illisible, désolé. Peux-tu faire l'effort d'écrire la question complète sur le forum ?

Cheminaud

Invité

Re : recurrence / matrice

Bonjour,
La question est : écrire B en fonction de I3 et J. En déduire les puissances de B en utilisant la formule de l’expansion binomiale.
B est la matrice : ligne 1 : 1/2 1/2 0 ligne 2 : 0 1/2 1/2 ligne 3 : 0 0 1
J est la matrice : ligne 1 : 0 1 0 ligne 2 : 0 0 1 ligne 3 : 0 0 1
La question 1 nous donne : pour n supérieur ou égal à 2, J=Ligne 1,2 et 3 :0 0 1

Merci pour l’aide

Michel Coste

Membre Expert

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Re : recurrence / matrice

Tu as [tex]B=\frac12(I_3+J)[/tex], donc [tex]B^n= \frac1{2^n}(I_3+J)^n[/tex].
Tu développes avec la formule du binôme (on peut l'appliquer ici parce que les matrices [tex]I_3[/tex] et [tex]J[/tex] commutent).
Tu connais les puissances de [tex]I_3[/tex] (pas dur !) et les puissances de [tex]J[/tex] qui apparaissent dans le développement.
Je redemande, qu'est-ce qui t'arrête ?

Cheminaud

Invité

Re : recurrence / matrice

Bonjour,
Je suis arrêté car je n’arrive pas à développer 
(
n
k
)
Merci

Michel Coste

Membre Expert

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Re : recurrence / matrice

Qui te demande de "développer" les coeffcients binomiaux ?
Ici, il suffit de savoir ce que vaut [tex]\binom{n}{0}[/tex], [tex]\binom{n}{1}[/tex] et la somme des coefficients binomiaux,

Cheminaud

Invité

Re : recurrence / matrice

Bonjour,
Je ne sais pas comment passer de (nk) = 2^n - n - 1 pour k supérieur ou égal à 2
Merci

Cheminaud

Invité

Re : recurrence / matrice

Ok, j’ai trouvé n0 et n1 par contre tu ne trouves pas la somme des coefficients binomiaux à cause de nk

Michel Coste

Membre Expert

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Re : recurrence / matrice

Qu'est-ce que tu veux dire ? Peux-tu être plus précis(e) ?

cheminaud

Invité

Re : recurrence / matrice

bonjour,
Après développement je trouve :
B^n=1/2^n (matrice ligne 1,2,3: 0 0 (nk)) + (matrice : ligne 1 : 1/2^n  n/2^n  0 ligne 2: 0 1/2^n  n/2^n  ligne 3: 0 0 n+1/2^n )
je n'arrive pas à passer à la ligne suivante car je ne sais pas à quoi est égale (nk)
merci

Michel Coste

Membre Expert

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Re : recurrence / matrice

Qui est (nk) ??? Pourquoi ce k ???

Est-ce que ce n'est pas plutôt  [tex]\displaystyle\sum_{k=2}^n\binom{n}{k}[/tex] ?

Te rappelles-tu que je t'ai demandé ce que vaut [tex]\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}[/tex] ?

cheminaud

Invité

Re : recurrence / matrice

bonjour ,
Voilà c'est ça la somme de (nk) avec k=2 comme premier terme je ne sais pas comme l'exprimer

Michel Coste

Membre Expert

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Re : recurrence / matrice

Pour la troisième fois, je te demande ce que vaut [tex]\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}[/tex] (la somme des coefficients binomiaux).

cheminaud

Invité

Re : recurrence / matrice

bonjour,
c'est : n!/k!(n-k)!

Michel Coste

Membre Expert

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Re : recurrence / matrice

Peux-tu faire l'effort de lire ? Je ne te demande pas ce qu'est le coefficient binomial [tex]\displaystyle\binom{n}{k}[/tex], je te demande (pour la quatrième fois) ce que vaut la somme des coefficients binomiaux [tex]\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}[/tex].

Dernière modification par yoshi (04-11-2018 07:18:44)