Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mati

Membre

Inscription : 15-05-2018

Messages : 134

Sobolev

Bonjour
j'ai l'exo qui suit dans le cadre d'un cours sur les distributions
Soit $f \in H^{-2}(\mathbb{R}^n)$.
Montrer l'existence et l'unicité de la solution dans $H^2(\mathbb{R})$ de l'équation
$$
u-\Delta u +\Delta^2 u =f
$$
est-ce qu'il y a un théorème qui dit ceci:
soit $m \in \mathbb{N}^*$. L'operateur differentiel
\begin{align*}
A: \sum_{|\alpha| \leq m} (-1)^{|\alpha|} a_{ij}(x) D^{2\alpha}:
H^m(\mathbb{R}^n) &\to H^{-m}(\mathbb{R}^n)\\
u &\to Au
\end{align*}
est une isométrie bijective. Pour pouvoir conclure directement dans l'exo? Ou alors comment on peut répondre à la question de l'exo sans passer par Lax-Milgram?

Cordialement

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Sobolev

Bonsoir,

Pourquoi ne veux-tu pas passer par Lax-Milgram ?
Si tu utilises un résultat général tel que tu veux faire, l'intérêt de l'exercice est plutôt limité (surtout si le dit théorème se démontre en utilisant Lax-Milgram...).

Comme ton problème est posé sur l'espace entier, tu peux peut être utiliser la transformée de Fourier pour contourner Lax-Milgram...

Roro.

mati

Membre

Inscription : 15-05-2018

Messages : 134

Re : Sobolev

Merci Roro. J'aimerai bien que tu m'expliques comment utiliser Fourier pour répondre à la question de l'exercice.
Merci par avance.

Cordialement