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romu

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limites de suite [Résolu]

Bonjour, je n'arrive pas à démarrer sur cet exo:

Calculer suivant les valeurs de [tex]x[/tex], la limite de la suite: [tex](v_n),\ v_n=\cos(n!\pi x),\ x\in \mathbb{Q}[/tex].

Merci pour vos indications.

Fred

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Re : limites de suite [Résolu]

Salut, puisque x est dans Q, x=p/q et donc n! x est un entier
dès que n est supérieur à q.
Cela devrait t'aider!

Fred.

romu

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Re : limites de suite [Résolu]

Bonjour Fred,

c'est ce que j'avais pensé, mais je n'ai pas encore eu le temps  de développer. Mais vu comme ça je pense que [tex]n! x[/tex] est un entier pair à partir d'un certain rang et donc la limite serait 1 pour n'importe quelle rationnel, non?

Dernière modification par romu (27-09-2007 10:05:26)

Fred

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Re : limites de suite [Résolu]

C'est ce qu'il me semble aussi.

romu

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Re : limites de suite [Résolu]

bon je crois que j'ai trouvé:

Soit [tex]x\in \mathbb{Q}[/tex]. Il existe [tex]p\in \mathbb{Z}[/tex] et  [tex]q\in \mathbb{N}\setminus\{0\}[/tex] tels que [tex]\mbox{pgcd}(p,q)=1[/tex] et [tex]x=\frac{p}{q}[/tex].

Soit un entier [tex]n \geq \sup(2,q)[/tex].

Si [tex]q=1[/tex], alors [tex]n!x = n!p[/tex] qui est pair car [tex]n\geq 2[/tex] (donc [tex]2|n![/tex]).
d'où [tex]v_n = 1[/tex].

Si  [tex]q>2[/tex], alors [tex]n\geq q[/tex], d'où [tex]q!|n![/tex],
autrement dit il existe un entier k tel que [tex]n!=kq![/tex].

Donc [tex]n!\frac{p}{q} = kq!\frac{p}{q} = k(q-1)!p[/tex],
comme [tex]q-1\geq 2[/tex], on a [tex]2|(q-1)![/tex],
donc [tex]n!x[/tex] est pair, d'où [tex]v_n = 1[/tex].

Donc pour tout [tex]x\in \mathbb{Q}[/tex], on a [tex]v_n\rightarrow 1[/tex].

C'est bien ça?

Dernière modification par romu (27-09-2007 11:41:59)

Fred

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Re : limites de suite [Résolu]

C'est correct sauf que tu ne traites pas le cas q=2.

Je ferai comme cela : pour n>(q+1), on a n! x= n*...*(q+1)*(q-1)*...*1*p.
Mais comme n>(q+1), n*...*(q+1) est pair.
Et donc n! x est toujours un nombre pair dès que n est assez grand.

F.

romu

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Re : limites de suite [Résolu]

ah oui pardon c'est vrai j'ai zappé le cas [tex]q=2[/tex], mais bon je vois comment procéder,
sinon je crois que je vais adopter ta solution à l'avenir qui m'a l'air mieux vu qu'elle traite directement tous les cas.

Merci en tout cas pour ton assistance. :)